2011-天津卷理-08 单-向量新定义

本题导读

本题考查新定义运算，以及分段函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 对实数 $a$ 与 $b$，定义运算“$\otimes$”：$a\otimes b=\{\begin{array}{l}a,a-b⩽1\\ b,a-b>1\end{array}$.设函数 $f(x)=(x^2-2)\otimes (x-x^2)$，$x\in \mathbf{R}$.若函数 $y=f(x)-c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，则实数 $c$ 的取值范围是 ()

A. $(-\infty ,-2]\cup \left(-1,\frac{3}{2}\right)$　　　　　　　　　　B. $(-\infty ,-2]\cup \left(-1,-\frac{3}{4}\right)$

C. $\left(-1,\frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{1}{4},+\infty \right)$　　　　　　　　　　D. $\left(-1,-\frac{3}{4}\right)\cup \left[\frac{1}{4},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据新定义运算化简函数 $f(x)$：令 $a=x^2-2$，$b=x-x^2$，计算 $a-b=2x^2-x-2$。
2. 由 $2x^2-x-2⩽1$ 解得 $-1⩽x⩽\frac{3}{2}$；由 $2x^2-x-2>1$ 解得 $x<-1$ 或 $x>\frac{3}{2}$。
3. 将 $f(x)$ 写成三段式分段函数： $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-x^2,& x<-1\\ x^2-2,& -1⩽x⩽\frac{3}{2}\\ x-x^2,& x>\frac{3}{2}\end{array}$
4. 画出 $y=f(x)$ 的草图，分析直线 $y=c$ 与 $y=f(x)$ 图象恰有两个交点时的 $c$ 的取值范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

根据新定义运算及不等式 $2x^2-x-2⩽1⟺(2x-3)(x+1)⩽0$，可得 $-1⩽x⩽\frac{3}{2}$。 因此，函数 $f(x)$ 的分段解析式为： $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-x^2,& x<-1\\ x^2-2,& -1⩽x⩽\frac{3}{2}\\ x-x^2,& x>\frac{3}{2}\end{array}$ 分段研究图象特征：

• 当 $x<-1$ 时， $f(x)=x-x^2$ 是开口向下的抛物线的一部分，当 $x\to -1$ 时，$f(x)\to -2$，其值域为 $(-\infty ,-2)$；
• 当 $-1⩽x⩽\frac{3}{2}$ 时，$f(x)=x^2-2$ 是开口向上的抛物线段，顶点为 $(0,-2)$，在 $x=-1$ 时值为 $-1$，在 $x=\frac{3}{2}$ 时值为 $\frac{1}{4}$；
• 当 $x>\frac{3}{2}$ 时，$f(x)=x-x^2=-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$ 是开口向下的抛物线的一部分，在此区间上单调递减，当 $x\to {\frac{3}{2}}^{+}$ 时值为 $-\frac{3}{4}$，当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to -\infty$，其值域为 $\left(-\infty ,-\frac{3}{4}\right)$。

方程 $f(x)-c=0$ 有两个实数根等价于函数 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=c$ 有两个交点：

• 当 $c\in (-\infty ,-2]$ 时：左支（$x<-1$，值域 $(-\infty ,-2)$）恰有 1 个交点，右支（$x>\frac{3}{2}$，值域 $(-\infty ,-\frac{3}{4})$）也恰有 1 个交点，共 2 个交点；
• 当 $c\in (-1,-\frac{3}{4})$ 时：左支无交点，中间段 $y=x^2-2\in [-2,\frac{1}{4}]$ 上因 $c>-1$ 仅保留 $x=+\sqrt{c+2}$ 一个交点（另一根 $x=-\sqrt{c+2}<-1$ 不在区间内），右支恰有 1 个交点，共 2 个交点；
• 其余区间（如 $-2<c\le -1$ 时中间段给出 2 个交点、再加右支 1 个共 3 个；$c=-\frac{3}{4}$ 时仅 1 个）均不满足恰有 2 个交点。 综上，实数 $c$ 的取值范围是 $(-\infty ,-2]\cup \left(-1,-\frac{3}{4}\right)$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数的作图与识图、方程根的个数与函数图象交点的转化。
• 核心方法：分段化简函数解析式，数形结合分析直线与曲线交点。
• 避坑指南：分段函数的边界点（如 $x=-1$ 和 $x=\frac{3}{2}$ 处的取值与开闭区间）极易出错，需仔细核对。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考数学中常见的以新定义运算为载体的分段函数与方程根的分布问题。
• 结论推广：含有参数的方程解的个数问题，通常通过分离参数转化为直线与图形交点问题求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-13 填-折线函数与导数
• 2013-新课标I卷理-11 单-分段函数
• 2013-新课标I卷理-24 解-绝对值不等式