2011-天津卷理-15 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查正切函数的性质与三角恒等变换。核心在于将 $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=2\cos 2\alpha$ 化为 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=2\cos 2\alpha$ 后切化弦，整体求出 $\cos \alpha -\sin \alpha$ 的值。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=\tan \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$.

(1) 求 $f(x)$ 的定义域与最小正周期；

(2) 设 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$，若 $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=2\cos 2\alpha$，求 $\alpha$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求定义域与周期：令 $2x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）解出定义域；正切型函数的周期直接由 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$ 得到。
2. 化简条件：$f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$，切化弦写成 $\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }$，右侧用二倍角公式因式分解。
3. 整体求值：约去 $\cos \alpha +\sin \alpha$ 得 $2(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2=1$，结合 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 定符号，再用 $\cos \alpha -\sin \alpha =\sqrt{2}\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 求出 $\alpha$。

✅【答案】

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(1) 定义域为 $\left\{x\mid x\ne \frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$，最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$

(2) $\alpha =\frac{\pi }{12}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 正切函数 $y=\tan x$ 要求自变量满足 $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）. 于是令 $2x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$，解得 $x\ne \frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ 故 $f(x)$ 的定义域为 $\left\{x\mid x\ne \frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$. 最小正周期为 $T=\frac{\pi }{2}$

(2) 由 $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=2\cos 2\alpha$，得 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=2\cos 2\alpha$ 左边切化弦： $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }$ 右边用二倍角公式因式分解： $2\cos 2\alpha =2({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )=2(\cos \alpha +\sin \alpha )(\cos \alpha -\sin \alpha )$ 于是 $\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }=2(\cos \alpha +\sin \alpha )(\cos \alpha -\sin \alpha )$ 由 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 知 $\cos \alpha +\sin \alpha >0$，两边约去 $\cos \alpha +\sin \alpha$，得 $2(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2=1$ 又当 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 时 $\cos \alpha >\sin \alpha >0$，故 $\cos \alpha -\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ 即 $\sqrt{2}\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$ 由 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 得 $\alpha +\frac{\pi }{4}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，故 $\alpha +\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}$ 解得 $\alpha =\frac{\pi }{12}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正切函数的定义域与最小正周期，两角和的正切公式，二倍角公式，同角三角函数的基本关系。
• 核心方法：
• 整体代入：把 $2x+\frac{\pi }{4}$、$\alpha +\frac{\pi }{4}$ 看成整体套用正切函数的性质；
• 切化弦：$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\cos \alpha -\sin \alpha }$，配合二倍角公式因式分解后约分。
• 避坑指南：求定义域时不要漏写 $k\in \mathbb{Z}$；约去 $\cos \alpha +\sin \alpha$ 前须说明其不为零；由 $2(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2=1$ 开方时，依 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 取正值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，漏掉范围判定会丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：官方说明本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力，是三角解答题的常规首题。
• 结论推广：$y=\tan (\omega x+\phi )$ 的最小正周期为 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$，定义域由 $\omega x+\phi \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）逐项解出。
• 方法推广：已知 $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=g(\alpha )$ 型条件求角，通常先代入化简成”一个三角函数式等于另一个”，再切化弦、因式分解约分，最后用角的限定范围确定开方符号与终边位置。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷理-15 解-三角恒等变换
• 2014-天津卷理-15 解-三角函数的化简与恒等变换
• 2015-天津卷理-15 解-二倍角公式