2011-天津卷理-16 解-对立事件

本题导读

本题考查组合计数与古典概型。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）

(1) 求在一次游戏中， ① 摸出 3 个白球的概率； ② 获奖的概率；

(2) 求在两次中获奖次数 $X$ 的分布列及数学期望 $E(X)$.

🔍【思路分析】

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1. 分析箱子结构：

• 甲箱：3个白球，2个黑球，共 5 个球，从中随机摸出 2 个，总取法数为 ${\text{C}}_5^2=10$。
• 乙箱：1个白球，2个黑球，共 3 个球，从中随机摸出 2 个，总取法数为 ${\text{C}}_3^2=3$。

2. 对 (1)：

• ① “摸出 3 个白球”意味着甲箱摸出 2 个白球且乙箱摸出 1 个白球；
• ② “获奖”意味着摸出的白球总数 $\ge 2$。可通过分类（摸出 2 个白球或 3 个白球）或对立事件（摸出少于 2 个白球，即 0 个或 1 个白球）求解。

3. 对 (2)：

• 每次游戏获奖的概率 $p$ 已在 (1) 中求出，两次独立重复试验中获奖次数 $X\sim B(2,p)$，直接写出分布列并计算期望。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1)

• 甲箱有 5 个球（3 白 2 黑），随机摸 2 个，基本事件总数为 ${\text{C}}_5^2=10$；
• 乙箱有 3 个球（1 白 2 黑），随机摸 2 个，基本事件总数为 ${\text{C}}_3^2=3$。 两者独立，一次游戏的基本事件总数为 $10\times 3=30$ 种。

① 设“摸出 3 个白球”为事件 $A$。 甲箱必须摸出 2 个白球（有 ${\text{C}}_3^2=3$ 种），乙箱必须摸出 1 个白球（有 ${\text{C}}_1^1\cdot {\text{C}}_2^1=2$ 种）。 则： $P(A)=\frac{{\text{C}}_3^2\cdot {\text{C}}_1^1\cdot {\text{C}}_2^1}{{\text{C}}_5^2\cdot {\text{C}}_3^2}=\frac{3\times 2}{10\times 3}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$

② 设“获奖”（摸出白球不少于 2 个）为事件 $B$。 摸出的白球总数可能为 2 个或 3 个（因为乙箱最多只有 1 个白球，所以白球总数不可能为 4 个）。

• 若摸出 2 个白球：
• 情形一：甲箱摸出 2 个白球，乙箱摸出 0 个白球（即 2 个黑球），概率为 $\frac{{\text{C}}_3^2\cdot {\text{C}}_2^2}{{\text{C}}_5^2\cdot {\text{C}}_3^2}=\frac{3\times 1}{10\times 3}=\frac{3}{30}$；
• 情形二：甲箱摸出 1 个白球，1 个黑球，乙箱摸出 1 个白球，1 个黑球，概率为 $\frac{{\text{C}}_3^1\cdot {\text{C}}_2^1\cdot {\text{C}}_1^1\cdot {\text{C}}_2^1}{{\text{C}}_5^2\cdot {\text{C}}_3^2}=\frac{3\times 2\times 1\times 2}{10\times 3}=\frac{12}{30}$。
• 若摸出 3 个白球，概率即 $P(A)=\frac{6}{30}$。 因此获奖概率为： $P(B)=\frac{3}{30}+\frac{12}{30}+\frac{6}{30}=\frac{21}{30}=\frac{7}{10}$ （亦可采用对立事件：计算摸出 0 个白球或 1 个白球的概率 $1-\frac{9}{30}=\frac{21}{30}=\frac{7}{10}$）。

(2) 由题意，每次游戏获奖的概率为 $p=\frac{7}{10}$。 在两次独立重复试验中，设获奖次数为 $X$，则 $X\in \{0,1,2\}$，且 $X\sim B\left(2,\frac{7}{10}\right)$。 计算各概率：

• $P(X=0)={\text{C}}_2^0{\left(\frac{3}{10}\right)}^2=\frac{9}{100}$
• $P(X=1)={\text{C}}_2^1\left(\frac{7}{10}\right)\left(\frac{3}{10}\right)=\frac{42}{100}=\frac{21}{50}$
• $P(X=2)={\text{C}}_2^2{\left(\frac{7}{10}\right)}^2=\frac{49}{100}$

随机变量 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2
$P$	$\frac{9}{100}$	$\frac{21}{50}$	$\frac{49}{100}$

数学期望为： $E(X)=n\cdot p=2\times \frac{7}{10}=\frac{7}{5}=1.4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：组合数计算公式、古典概型、互斥与独立事件概率、二项分布的分布列与期望。
• 核心方法：
• 组合计数法求基本事件数；
• 识别独立重复试验直接套用二项分布公式 $P(X=k)={\text{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$。
• 避坑指南：计算箱子摸球时，注意甲箱取 2 个、乙箱取 2 个的组合数乘积作为分母，切勿漏乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：天津高考数学概率统计解答题常规题型，重点考查严谨的分类讨论与计算能力。
• 结论推广：若单次试验成功率为 $p$，进行 $n$ 次独立重复试验，成功次数 $X$ 恒服从二项分布 $B(n,p)$，其期望为 $np$，方差为 $np(1-p)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2021-浙江卷-15 填-古典概型
• 2007-广东卷理-09 填-古典概型
• 2008-四川卷文-18 解-独立事件与二项分布