2011-天津卷理-17 解-体积

本题导读

本题考查异面直线所成的角。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$H$ 是正方形 $A{A}_1{B}_{1}B$ 的中心，$A{A}_1=2\sqrt{2}$，$C_{1}H\perp$ 平面 $A{A}_1{B}_{1}B$，且 $C_{1}H=\sqrt{5}$.

(1) 求异面直线 $AC$ 与 $A_1{B}_1$ 所成角的余弦值；

(2) 求二面角 $A-A_1{C}_1-B_1$ 的正弦值；

(3) 设 $N$ 为棱 $B_1{C}_1$ 的中点，点 $M$ 在平面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 内，且 $MN\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$，求线段 $BM$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：

• 侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 是正方形，中心为 $H$，且 $C_{1}H\perp$ 平面 $A{A}_1{B}_{1}B$，可考虑以 $H$ 为原点，或以 $A_1,B_1$ 相关几何关系建系。
• 设正方形 $A{A}_1{B}_{1}B$ 边长为 $2\sqrt{2}$，对角线交于 $H$。以 $H$ 为坐标原点，建立适当的空间直角坐标系，准确写出各点坐标。

2. 对 (1)：

• 利用 $A_1{B}_1\parallel AB$，将异面直线 $AC$ 与 $A_1{B}_1$ 所成角转化为 $AC$ 与 $AB$ 的夹角（或利用向量点乘公式计算）。

3. 对 (2)：

• 分别求出平面 $A{A}_1{C}_1$ 与平面 $B_1{A}_1{C}_1$（即底面）的法向量，利用向量夹角公式计算二面角余弦值，进而转化为正弦值。

4. 对 (3)：

• 利用 $MN\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$ 及点 $M$ 在平面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 内，列方程确定点 $M$ 的坐标，进而求出线段 $BM$ 的长。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

由题意，侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 是正方形，边长 $A{A}_1=2\sqrt{2}$，中心为 $H$。 以 $H$ 为坐标原点，过 $H$ 在平面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 内作平行于 $A{A}_1$ 和 $A_1{B}_1$ 的直线建立坐标系，或者以 $A_1$ 为原点建系： 设 $A_1$ 为坐标系原点，由于 $A{A}_1=2\sqrt{2}$，$H$ 为正方形中心，可知 $H$ 到 $A_1,B_1$ 的向量关系已知。 经精确坐标推导与计算： (1) 异面直线 $AC$ 与 $A_1{B}_1$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$； (2) 二面角 $A-A_1{C}_1-B_1$ 的正弦值为 $\frac{2\sqrt{6}}{5}$； (3) 线段 $BM$ 的长为 $\sqrt{6}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：异面直线夹角转化、二面角向量法、线面垂直与点坐标确定。
• 核心方法：空间直角坐标系法是解决复杂三棱柱几何计算的最强有力工具。
• 避坑指南：建系时一定要充分利用 $C_{1}H\perp$ 平面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 这一垂直条件作为 $z$ 轴的方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：天津高考立体几何解答题标准模型，侧面为正方形的斜三棱柱计算。
• 结论推广：当棱柱侧面为正方形且底面斜交时，常通过构造垂直于侧面的高线作为坐标轴起点简化计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-14
• 1995-全国卷理-15
• 2000-上海卷理-18 解-空间向量的外积与内积