2009-陕西卷理-10 单-立体几何

本题导读

本题考查正方体与正八面体的对偶关系、空间几何体的体积计算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 若正方体的棱长为 $\sqrt{2}$，则以该正方体各面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{6}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确结构：正方体有 6 个面，各面中心相连构成的多面体是一个正八面体。

2. 体积割补：该正八面体可对称地分割为两个底面重合的正四棱锥。

3. 计算求值：求出中间共享的正方形底面面积以及四棱锥的高，代入体积公式加倍即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体共有 6 个面，其各面中心相连构成的凸多面体为正八面体。 该正八面体可以看作是由两个大小相同的正四棱锥在中间的正方形截面上拼接而成。 中间共享的正方形截面的对角线长等于正方体的棱长，即 $d=\sqrt{2}$。 因此，该正方形的面积为 $S=\frac{1}{2}{d}^2=\frac{1}{2}\times (\sqrt{2}{)}^2=1$。 每个正四棱锥的高 $h$ 为正方体棱长的一半，即 $h=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 所以，该凸多面体的体积为： $V=2\times V_{\text{棱锥}}=2\times \left(\frac{1}{3}Sh\right)=2\times \frac{1}{3}\times 1\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间多面体的几何特征及体积公式。

2. 核心方法：将复杂的正八面体进行“轴向对称分割”，转化为基础的四棱锥体积计算。

3. 避坑指南：注意中间正方形的对角线才是正方体棱长，不要错将正方形的边长直接当成正方体棱长计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于拓扑学与空间几何中的“多面体对偶性”命题，正方体（六面体）与正八面体互为对偶多面体。

2. 结论推广: 若正方体的棱长为 $a$，则以其各面中心为顶点的正八面体体积恒为 $V=\frac{1}{6}{a}^3$。本题中 $a=\sqrt{2}$，代入得 $V=\frac{1}{6}\times (\sqrt{2}{)}^3=\frac{2\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-20 解-异面直线角与体积
• 2011-天津卷文-10 填-三视图求体积
• 2011-天津卷理-17 解-体积