2011-安徽卷文-09 单-正六边形矩形概率

本题导读

本题考查古典概型，以及组合计数。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 从正六边形的 $6$ 个顶点中随机选择 $4$ 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ()

A. $\frac{1}{10}$　　　　　　B. $\frac{1}{8}$　　　　　　C. $\frac{1}{6}$　　　　　　D. $\frac{1}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：总数 ${\mathrm{C}}_6^4=15$
2. 步骤2：矩形 $⟺$ 取两对相对顶点 ${\mathrm{C}}_3^2=3$
3. 步骤3：概率 $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$

✅【答案】

点击查看答案

D$\frac{1}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

从 $6$ 个顶点选 $4$ 个：${\mathrm{C}}_6^4=15$ 种等可能选法。

圆内接四边形是矩形 $⟺$ 两条对角线都是直径 $⟺$ 四个顶点两两成”对径点对”。正六边形外接圆上有 $3$ 对相对顶点，取其中 $2$ 对即得矩形：${\mathrm{C}}_3^2=3$ 个。

故 $P=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型 $P=\frac{m}{n}$；组合数 ${\mathrm{C}}_6^4$；圆内接四边形为矩形的充要条件（对角线为直径）

核心方法：“是矩形”的几何刻画：对角线相等且互相平分 $⟺$ 共圆且对角线为直径，转化为”选两对相对顶点”

避坑指南：不是数”看起来像矩形”的图形——正六边形中三个”矩形”恰好是两个大三角形的叠合，直观容易漏数或重数；总数是 ${\mathrm{C}}_6^4=15$ 而不是 ${\mathrm{C}}_6^4$ 之外再排序（顶点无序）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型与计数题与 2011-新课标卷文-06、2011-浙江卷文-08、2011-江西卷文-16 同族。

结论推广：推广：圆内接四边形是矩形 $⟺$ 四顶点构成两对对径点；正 $2n$ 边形取 $4$ 顶点构成矩形的个数为 ${\mathrm{C}}_n^2$，相应概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_n^2}{{\mathrm{C}}_{2n}^4}$（正六边形即 $n=3$）。

方法推广：几何图形中的古典概型：先用几何充要条件刻画”成功事件”，再算两个组合数，避免逐个画图数数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-06 单-古典概型
• 2011-浙江卷文-08 单-古典概型至少
• 2011-江西卷文-16 解-饮料品评古典概型