2011-安徽卷文-11 填-奇函数求值

本题导读

本题考查奇函数的性质，以及函数求值。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x⩽0$ 时，$f(x)=2x^2-x$，则 $f(1)=$　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$f(1)=-f(-1)$
2. 步骤2：把 $-1$ 代入已知解析式

✅【答案】

点击查看答案

$f(1)=-3$

✍【详细解析】

Abstract

$f$ 为奇函数：$f(1)=-f(-1)$。

$-1⩽0$，用已知段：$f(-1)=2\times (-1{)}^2-(-1)=2+1=3$。

故 $f(1)=-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数定义 $f(-x)=-f(x)$；分段函数按自变量所在区间取解析式

核心方法：正区间无解析式时，“负化正”：$f(1)=-f(-1)$，回落到已知段计算

避坑指南：$f(-1)=2\times (-1{)}^2-(-1)=3$：平方后 $-1$ 变 $1$，而 $-x$ 项仍是 $-(-1)=+1$——两处符号都容易错；奇函数给出的是 $f(1)=-f(-1)$，不是 $f(1)=f(-1)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数求值题与 2011-大纲卷文-10、2011-广东卷文-12、2011-浙江卷文-11 同族。

结论推广：推广：分段奇函数 $x⩽0$ 段为 $g(x)$ 时，$x>0$ 段为 $-g(-x)$；本题即 $f(x)=-2x^2-x$（$x>0$），通项化后再求值更快。

方法推广：对称性求值：目标点不在已知段时，先翻到对称点，再代解析式；写清每一步的符号来源。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-10 单-奇函数周期求值
• 2011-广东卷文-12 填-奇偶求值
• 2011-浙江卷文-11 填-函数求值