2011-安徽卷理-20 解-分布列

本题导读

本题考查相互独立事件的概率。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，如果前一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ ，假设 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

(1) 如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

(2) 若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ ，其中 $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ 是 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 的一个排列，求所需派出人员数目 $X$ 的分布列和均值（数学期望） $E X$ ；

(3) 假定 $1 > p_{1} > p_{2} > p_{3}$ ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.

🔍【思路分析】

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第(1)问：考虑对立事件（三个人都没完成任务），结合独立事件概率乘法公式求解；交换顺序不改变全不完成的概率，故总概率不变。

第(2)问：确定 $X$ 的可能取值（1, 2, 3），计算对应概率（ $X = 1$ 即第1人完成； $X = 2$ 即第1人未完成但第2人完成； $X = 3$ 即前2人均未完成），列出分布列并求期望。

第(3)问：展开期望表达式，利用 $1 > p_{1} > p_{2} > p_{3}$ 的大小关系，比较不同排列下的期望值大小，寻找期望最小值对应的顺序。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 记“任务能被完成”为事件 $A$ 。按甲、乙、丙顺序派人，任务不能被完成当且仅当三人均不能完成任务。因为三人能否完成任务相互独立，且各自不能完成任务的概率分别为 $1 - p_{1}, 1 - p_{2}, 1 - p_{3}$ ，所以任务不能被完成的概率为 $(1 - p_{1}) (1 - p_{2}) (1 - p_{3})$ 。故任务能被完成的概率为： $P (A) = 1 - (1 - p_{1}) (1 - p_{2}) (1 - p_{3})$

若改变派出顺序，任务不能被完成的概率仍为 $(1 - p_{1}) (1 - p_{2}) (1 - p_{3})$ ，所以任务能被完成的概率不发生变化。

(2) $X$ 表示所需派出的人员数目， $X$ 的可能取值为 $1, 2, 3$ 。对应概率分别为：

$P (X = 1) = q_{1}$ （第1人完成任务）；

$P (X = 2) = (1 - q_{1}) q_{2}$ （第1人未完成，第2人完成任务）；

$P (X = 3) = (1 - q_{1}) (1 - q_{2})$ （前2人均未完成，此时无论第3人是否完成任务，均已派出3人）。

所以 $X$ 的分布列为：

$X$ 1 2 3
$P$ $q_{1}$ $(1 - q_{1}) q_{2}$ $(1 - q_{1}) (1 - q_{2})$

$X$	1	2	3
$P$	$q_{1}$	$(1 - q_{1}) q_{2}$	$(1 - q_{1}) (1 - q_{2})$

均值（数学期望）为： $E X = 1 \cdot q_{1} + 2 \cdot (1 - q_{1}) q_{2} + 3 \cdot (1 - q_{1}) (1 - q_{2})$ $= q_{1} + 2 q_{2} - 2 q_{1} q_{2} + 3 - 3 q_{1} - 3 q_{2} + 3 q_{1} q_{2}$ $= 3 - 2 q_{1} - q_{2} + q_{1} q_{2}$ $= 3 - q_{1} - q_{2} - q_{1} (1 - q_{2})$

(3) 由(2)可知，若按成功概率依次为 $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ 的顺序派人，期望可写为： $E X = 3 - 2 q_{1} - q_{2} + q_{1} q_{2} = 1 + (1 - q_{1}) + (1 - q_{1}) (1 - q_{2})$

要使 $E X$ 达到最小，即要使 $(1 - q_{1}) + (1 - q_{1}) (1 - q_{2})$ 达到最小。显然，要减小上式，应使 $q_{1}$ 尽量大，其次使 $q_{2}$ 尽量大。

对所有可能的派出顺序（即 $q_{1}, q_{2}$ 的取值）进行比较：

若按甲、乙、丙顺序（即 $q_{1} = p_{1}, q_{2} = p_{2}$ ）： $E X_{1} = 1 + (1 - p_{1}) + (1 - p_{1}) (1 - p_{2})$

若按甲、丙、乙顺序（即 $q_{1} = p_{1}, q_{2} = p_{3}$ ）： $E X_{2} = 1 + (1 - p_{1}) + (1 - p_{1}) (1 - p_{3})$ 因为 $p_{2} > p_{3} ⟹ 1 - p_{2} < 1 - p_{3}$ ，所以 $E X_{1} < E X_{2}$ 。

若第一位派乙（ $q_{1} = p_{2}$ ）：因为 $p_{1} > p_{2} ⟹ 1 - p_{1} < 1 - p_{2}$ ，且 $(1 - p_{1}) (1 - p_{2}) ⩽ (1 - p_{2}) (1 - q_{2})$ ，所以其期望必定大于 $E X_{1}$ 。

若第一位派丙（ $q_{1} = p_{3}$ ）：同理，其期望也必定大于 $E X_{1}$ 。

综上所述，当 $1 > p_{1} > p_{2} > p_{3}$ 时，按照甲最先、乙次之、丙最后（即按成功概率由大到小）的顺序派出人员，可使所需派出人员数目的均值（数学期望）达到最小。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：离散型随机变量分布列与期望计算，实际生活中的最优策略决策。

核心方法：

$X = 3$ 对应的概率计算是难点：前2人失败即需派出3人，无需乘以 $q_{3}$ 或 $(1 - q_{3})$ ；

期望化简技巧： $E X = 1 + P (X ⩾ 2) + P (X ⩾ 3)$ 。

避坑指南：第(2)问中 $P (X = 3)$ 不要误写成 $(1 - q_{1}) (1 - q_{2}) q_{3}$ ；第(3)问比较期望大小时，需严密说明为何选 $p_{1}$ 最优后再选 $p_{2}$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源自概率论与数理统计中的最优止步/搜索策略问题。

结论推广：若有 $n$ 个人完成任务的概率分别为 $p_{1} > p_{2} > \dots > p_{n}$ ，为使派出人数期望最小，应按概率从大到小的顺序派出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

15.02 随机事件、关系与独立性

23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

2008-福建卷理-20

2013-山东卷理-19 解-相互独立事件的概率乘法公式

2013-浙江卷理-19 解-分布列

∑ ( Math )

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2011-安徽卷理-20 解-分布列

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