2011-山东卷文-07 单-线性规划最值

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数最值。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2y-5⩽0,\\ x-y-2⩽0,\\ x⩾0,\end{array}$ 则目标函数 $z=2x+3y+1$ 的最大值为 ()

A. $11$　　　　　　　B. $10$　　　　　　　C. $9$　　　　　　　D. $8.5$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：画可行域
2. 步骤2：$z=2x+3y+1$ 沿上边界分析
3. 步骤3：顶点代入比较

✅【答案】

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B最大值为 $10$

✍【详细解析】

Abstract

约束即 $x⩾0$，$y⩽\frac{5-x}{2}$，$y⩾x-2$。可行域顶点：$(0,\frac{5}{2})$（$x=0$ 与上边界）、$(3,1)$（两斜边界交点）、$(0,-2)$（$x=0$ 与下边界）。

$z$ 在顶点处取值：$(0,\frac{5}{2})$ 处 $z=\frac{17}{2}=8.5$；$(3,1)$ 处 $z=6+3+1=10$；$(0,-2)$ 处 $z=-5$。

故最大值为 $10$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：可行域顶点与线性目标函数最值

核心方法：画三条边界定顶点，顶点代入比较

避坑指南：交点 $(3,1)$ 由 $x+2y=5$ 与 $x-y=2$ 联立（相加得 $2x+y=7$？——应联立消 $y$：$x+2(x-2)=5$ 得 $x=3$）；顶点遗漏 $(0,-2)$ 不影响最大值但影响理解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划题与 2011-天津卷文-02、2012-山东卷文-06、2012-大纲卷文-14 同族。

结论推广：推广：目标函数 $2x+3y+1$ 的法向量 $(2,3)$ 与上边界法向 $(1,2)$ 不平行，最值在顶点取得。

方法推广：线性规划：求出全部顶点逐一代入；常数为 $+1$ 最后再加，别提前漏加。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-02 单-线性规划最值
• 2012-山东卷文-06 单-线性规划取值范围
• 2012-大纲卷文-14 填-线性规划最值