2012-大纲卷文-14 填-线性规划最值

本题导读

本题考查线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 若 $x$、$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+1⩾0,x+y-3⩽0,x+3y-3⩾0,\end{array}$ 则 $z=3x-y$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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可行域三个顶点 $(1,2)$、$(0,1)$、$(3,0)$，$z=3x-y$ 依次取 $1$、$-1$、$9$，最小值为 $-1$。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

三条边界两两相交，可行域顶点：

$x-y+1=0$ 与 $x+y-3=0$：解得 $(1,2)$，$z=3\times 1-2=1$；

$x-y+1=0$ 与 $x+3y-3=0$：解得 $(0,1)$，$z=-1$；

$x+y-3=0$ 与 $x+3y-3=0$：解得 $(3,0)$，$z=9$。

故 $z=3x-y$ 的最小值为 $-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的图解法；目标函数最值

核心方法：画可行域 → 求顶点 → 顶点处代入目标函数比较

避坑指南：线性目标函数的最值在可行域顶点处取得，三个顶点都要代入；$z=3x-y$ 中 $y$ 的系数为负，$y$ 越大 $z$ 越小，平移方向别搞反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划标准题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 5 题、2013 年大纲卷文第 15 题同族。

结论推广：一般地，可行域为三角形（有界凸多边形）时，线性目标函数必在某个顶点处取得最值。

方法推广：线性规划最稳做法：联立边界方程求出全部顶点，逐一代入目标函数比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-05 单-线性规划
• 2013-大纲卷文-15 填-线性规划