2011-山东卷文-11 单-三视图存在性

本题导读

本题考查三视图，以及空间想象。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题：

① 存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；

② 存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；

③ 存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图.

其中真命题的个数是 ()

A. $3$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：对三种几何体分别构造”正视图与俯视图为全等矩形”的实例

✅【答案】

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A真命题个数为 $3$

✍【详细解析】

Abstract

设矩形长、宽为 $L$、$W$。

① 直三棱柱横放（侧棱水平且沿”长”方向），底面三角形在两个相互垂直的投影方向上张角均为 $W$，则正视图与俯视图均为 $L\times W$ 矩形——存在。

② 取长、宽、高分别为 $L$、$W$、$W$ 的长方体，正视图与俯视图均为 $L\times W$ 矩形——存在。

③ 圆柱横放，轴线沿”长”方向、底面直径为 $W$，正视图与俯视图均为 $L\times W$ 矩形——存在。

故三个命题都为真，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图的投影原理；存在性命题的构造

核心方法：对每种几何体尝试构造实例；横放（轴线水平）是让正、俯视图同形的常用技巧

避坑指南：竖放圆柱的正视图是矩形、俯视图是圆——不相等；须横放且让圆面投影方向一致。三棱柱用等腰直角三角形底面即可保证两个方向投影等宽。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图概念题与 2012-福建卷文-04、2012-湖南卷文-04、2011-北京卷文-05 同族。

结论推广：推广：几何体正视图与俯视图相同 $⟺$ 几何体在两投影方向的”轮廓”一致；旋转体横放、棱柱斜放是常见构造。

方法推广：三视图存在性题：不画全部视图，只抓”轮廓形状”，逐一构造或反例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-04 单-三视图形状判断
• 2012-湖南卷文-04 单-三视图组合体判断
• 2011-北京卷文-05 单-三视图表面积