2011-山东卷文-19 解-四棱台线面平行垂直

本题导读

本题考查四棱台的结构特征，以及空间向量与线面垂直。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 如图，在四棱台 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$D_{1}D\perp$ 平面 $ABCD$，底面 $ABCD$ 是平行四边形，$AB=2AD$，$AD=A_1{B}_1$，$\angle BAD=60^{\circ }$.

(1) 证明：$A{A}_1\perp BD$；

(2) 证明：$C{C}_1\parallel$ 平面 $A_{1}BD$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：建系：底面平行四边形 + $D_{1}D\perp$ 底面
2. 步骤2：写出各点坐标
3. 步骤3：(1) 算数量积为零
4. 步骤4：(2) 把 $\overrightarrow{C{C}_1}$ 表为平面内两向量 $\overrightarrow{D{A}_1}$ 与 $\overrightarrow{DB}$ 的线性组合并说明 $C$ 在平面外

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

设 $AD=s$，取 $A$ 为原点、$AB$ 方向为 $x$ 轴、$AD$ 在 $xOy$ 平面内。由 $AB=2AD$ 与 $\angle BAD=60^{\circ }$：

$B(2s,0,0)$，$D\left(\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{2},0\right)$，$C\left(\frac{5s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{2},0\right)$。

设 $D_{1}D=h$。四棱台上、下底面平行且 $A_1{B}_1=AD=\frac{1}{2}AB$，故两底面对应线段比为 $\frac{1}{2}$，从而

$D_1\left(\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{2},h\right)$，$A_1\left(\frac{s}{4},\frac{\sqrt{3}s}{4},h\right)$，$C_1\left(\frac{3s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{2},h\right)$。

(1) $\overrightarrow{A{A}_1}=\left(\frac{s}{4},\frac{\sqrt{3}s}{4},h\right)$，$\overrightarrow{BD}=\left(-\frac{3s}{2},\frac{\sqrt{3}s}{2},0\right)$，

$\overrightarrow{A{A}_1}\cdot \overrightarrow{BD}=-\frac{3s^2}{8}+\frac{3s^2}{8}+0=0$，故 $A{A}_1\perp BD$。

(2) $\overrightarrow{C{C}_1}=(-s,0,h)$，$\overrightarrow{D{A}_1}=\left(-\frac{s}{4},-\frac{\sqrt{3}s}{4},h\right)$，$\overrightarrow{DB}=\left(\frac{3s}{2},-\frac{\sqrt{3}s}{2},0\right)$。

直接验证：$\overrightarrow{D{A}_1}-\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=\left(-\frac{s}{4}-\frac{3s}{4},-\frac{\sqrt{3}s}{4}+\frac{\sqrt{3}s}{4},h\right)=(-s,0,h)=\overrightarrow{C{C}_1}$。

$\overrightarrow{D{A}_1}$ 与 $\overrightarrow{DB}$ 都在平面 $A_{1}BD$ 内，故 $\overrightarrow{C{C}_1}$ 是该平面的方向向量。又 $C$ 不在平面 $A_{1}BD$ 内：若 $C\in$ 平面 $A_{1}BD$，则存在实数 $\alpha ,\beta$ 使 $\overrightarrow{DC}=\alpha \overrightarrow{DB}+\beta \overrightarrow{D{A}_1}$，比较竖坐标得 $\beta h=0$，由 $h>0$ 得 $\beta =0$；再比较 $y$ 坐标得 $\alpha =0$，这与 $\overrightarrow{DC}=(2s,0,0)\ne \vec{0}$ 矛盾。

故 $C{C}_1\parallel$ 平面 $A_{1}BD$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棱台上下底面的相似比；空间向量证线线垂直；线面平行的向量判定

核心方法：”$D_{1}D\perp$ 底面 + 底面为已知角平行四边形”是天然坐标系；上底坐标按下底对应点向中心缩 $\frac{1}{2}$ 后抬升 $h$；证线面平行 = 方向向量 $\in$ 平面内向量组张成的空间 + 点在面外

避坑指南：$A_1$ 的坐标不是把 $A$ 直接抬升：上底是下底以中心（位似比 $\frac{1}{2}$）缩放后平移 $h$ 得到的，$A_1=\left(\frac{s}{4},\frac{\sqrt{3}s}{4},h\right)$；写错 $A_1$、$C_1$ 坐标是本题第一失分点。说明”$C\notin$ 平面 $A_{1}BD$“不可省略，否则只是共面向量不能得线面平行。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱台线面关系题与 2011-天津卷文-17、2012-浙江卷文-20、2013-天津卷文-17 同族。

结论推广：推广：正四棱台/一般棱台中，侧棱 $C{C}_1$ 与对角面 $A_{1}BD$ 的位置关系可统一用”方向向量线性组合 + 点在面外”两步程序处理，无需找中位线辅助线。

方法推广：棱台向量法：先由相似比写出上底所有点坐标（一步到位），再全部转化为坐标运算；线面平行证明的收尾永远是”方向向量共面 + 公共点不在面内”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-17 解-线面平行与线面角
• 2012-浙江卷文-20 解-四棱柱线面垂直与线面角
• 2013-天津卷文-17 解-三棱柱线面平行垂直