2011-天津卷文-17 解-线面平行与线面角

本题导读

本题考查线面平行的判定，以及线面垂直的判定。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形，$\angle ADC=45^{\circ }$，$AD=AC=1$，$O$ 为 $AC$ 中点，$PO\perp$ 平面 $ABCD$，$PO=2$，$M$ 为 $PD$ 中点.

(1) 证明：$PB\parallel$ 平面 $ACM$；

(2) 证明：$AD\perp$ 平面 $PAC$；

(3) 求直线 $AM$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正切值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：向量法：以 $A$ 为原点建系
2. 步骤2：(1) 把 $\overrightarrow{PB}$ 写成平面内向量 $\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AM}$ 的线性组合
3. 步骤3：(2) 验证 $\overrightarrow{AD}$ 与平面内两向量垂直
4. 步骤4：(3) 用射影长公式求正切

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) 见解析

(3) $\tan \theta =\frac{4\sqrt{5}}{5}$（即 $\frac{4}{\sqrt{5}}$）

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点、$AD$ 为 $x$ 轴、$AC$ 为 $y$ 轴建系。由 $\angle ADC=45^{\circ }$，$AD=AC=1$ 得 $D(-1,0,0)$，$C(0,1,0)$；$O(0,\frac{1}{2},0)$，$P(0,\frac{1}{2},2)$，$M$ 为 $PD$ 中点，$M(-\frac{1}{2},\frac{1}{4},1)$；由平行四边形 $A+C=B+D$ 得 $B(1,1,0)$。

(1) $\overrightarrow{PB}=(1,\frac{1}{2},-2)$，$\overrightarrow{AC}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{AM}=(-\frac{1}{2},\frac{1}{4},1)$，则 $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AM}$。

故 $\overrightarrow{PB}$ 与平面 $ACM$ 内两个不共线向量共面，即 $PB\parallel$ 平面 $ACM$；又 $P(0,\frac{1}{2},2)$ 不在平面 $ACM$（其方程为 $x+\frac{z}{2}=0$）内，所以 $PB\parallel$ 平面 $ACM$。

(2) $\overrightarrow{AD}=(-1,0,0)$。$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AP}=0$，且 $AC$ 与 $AP$ 是平面 $PAC$ 内相交直线，所以 $AD\perp$ 平面 $PAC$。

(3) $M$ 在平面 $ABCD$ 上的射影为 $M^{\prime }(-\frac{1}{2},\frac{1}{4},0)$，$A{M}^{\prime }=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，$M{M}^{\prime }=1$。

设直线 $AM$ 与平面 $ABCD$ 所成角为 $\theta$，则 $\tan \theta =\frac{M{M}^{\prime }}{A{M}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{5}/4}=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的向量证法；线面垂直的判定定理；斜线与平面所成角

核心方法：建系后三问统一处理：平行看共面向量、垂直看点积、线面角用 $\tan \theta =\frac{d}{\text{射影长}}$

避坑指南：$\overrightarrow{PB}$ 与平面内向量共面只说明直线平行或落在平面内，须补充 $P$ 不在平面内；$M^{\prime }$ 的横坐标是 $-\frac{1}{2}$（$M$ 在 $PD$ 中点），长度计算不受符号影响但坐标要写对。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱锥线面关系题与 2011-大纲卷文-20、2012-江苏卷-16、2013-北京卷文-17 同族。

结论推广：推广：$PO\perp$ 底面时，底面内任一点 $X$ 处 $PX$ 与底面所成角的正切为 $\frac{PO}{OX}$；中点条件可全部转化为坐标平均。

方法推广：立体几何解答题：向量法三步——建系（尽量让底面两边落轴）、算关键点坐标、按”平行/垂直/角”各选对应公式收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2012-江苏卷-16 解-面面垂直与线面平行
• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直