2011-山东卷理-02 单-复数除法

本题导读

本题考查复数的代数除法，以及复数的几何意义与复平面象限。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 复数 $z=\frac{2-\text{i}}{2+\text{i}}$（$\text{i}$ 为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 ()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

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1. 分子分母同乘分母的共轭复数 $2-\text{i}$ 进行分母实数化。
2. 化为代数形式 $a+b\text{i}$ 后判定实部与虚部的正负符号。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$z=\frac{2-\text{i}}{2+\text{i}}=\frac{(2-\text{i}{)}^2}{(2+\text{i})(2-\text{i})}=\frac{4-4\text{i}+{\text{i}}^2}{4-{\text{i}}^2}=\frac{3-4\text{i}}{5}=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\text{i}$ 复数 $z$ 对应的点坐标为 $\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$。 因为横坐标大于 0，纵坐标小于 0，所以该点位于第四象限。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数除法法则与复数的几何对应关系。
• 核心方法：分母实数化，直接提取实部与虚部符号。
• 避坑指南：计算 $(2-\text{i}{)}^2$ 时注意 ${\text{i}}^2=-1$，切勿计算符号失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修2-2数系的扩充与复数的概念标准基础题。
• 结论推广：对模长相等的共轭商 $z=\frac{\overline{w}}{w}$，其模长为 1，幅角为分子的幅角与分母幅角之差。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集