2011-广东卷文-13 填-回归预测

本题导读

本题考查平均数，以及线性回归方程。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 $1$ 号到 $5$ 号每天打篮球时间 $x$（单位：小时）与当天投篮命中率 $y$ 之间的关系：

时间 $x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
命中率 $y$	$0.4$	$0.5$	$0.6$	$0.6$	$0.4$

小李这 $5$ 天的平均投篮命中率为$\underline{}$；用线性回归分析的方法，预测小李该月 $6$ 号打 $6$ 小时篮球的投篮命中率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：先求 $\bar{x}=3$
2. 步骤2：$\bar{y}=0.5$
3. 步骤3：再算 $\hat{b}=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}=0.01$
4. 步骤4：$\hat{a}=0.47$

✅【答案】

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$0.5$；$0.53$

✍【详细解析】

Abstract

平均命中率 $\bar{y}=\frac{0.4+0.5+0.6+0.6+0.4}{5}=0.5$，$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$。

$\hat{b}=\frac{\sum _{i=1}^5(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum _{i=1}^5(x_i-\bar{x}{)}^2}=\frac{(-2)(-0.1)+(-1)(0)+0\times 0.1+1\times 0.1+2\times (-0.1)}{(-2{)}^2+(-1{)}^2+0^2+1^2+2^2}=\frac{0.1}{10}=0.01$。

$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=0.5-0.01\times 3=0.47$，回归直线 $\hat{y}=0.47+0.01x$。

$x=6$ 时 $\hat{y}=0.47+0.06=0.53$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平均数；回归系数 $\hat{b}$ 与 $\hat{a}$ 的公式；回归直线过 $(\bar{x},\bar{y})$ 与预测

核心方法：中心化数据代入 $\hat{b}$ 公式，$\hat{a}$ 用 $\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$ 回代，最后外推预测

避坑指南：分子各乘积项有正有负（$0.2+0+0+0.1-0.2=0.1$），逐项符号算清，漏掉负项会使 $\hat{b}$ 算成 $0.05$ 量级；回归直线必过 $(\bar{x},\bar{y})$，可用 $\hat{y}(3)=0.5$ 自检；预测值是线性外推结果，与样本数据范围的关系不必作额外解读。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性回归题与 2011-山东卷文-08、2013-重庆卷文-17、2012-广东卷文-13 同族。

结论推广：推广：$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$ 保证回归直线过样本中心点，这既是公式的一部分又是所有回归题的第一验算点；等距自变量的 $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ 为定值（$x=1,\cdots ,5$ 时为 $10$）。

方法推广：回归填空题：列表算 $\bar{x}$，$\bar{y}$，中心化乘积与平方和，三步走完套公式，最后过中心点验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-08 单-回归预报
• 2013-重庆卷文-17 解-线性回归预测
• 2012-广东卷文-13 填-平均数与方差