2013-重庆卷文-17 解-线性回归预测

本题导读

本题考查线性回归方程。核心在于最小二乘法、样本中心点的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 从某居民区随机抽取 $10$ 个家庭，获得第 $i$ 个家庭的月收入 $x_i$（单位：千元）与月储蓄 $y_i$（单位：千元）的数据资料，算得 ${\sum }_{i=1}^{10}{x}_i=80,{\sum }_{i=1}^{10}{y}_i=20,{\sum }_{i=1}^{10}{x}_i{y}_i=184,{\sum }_{i=1}^{10}{x}_i^2=720.$

(1)求家庭的月储蓄 $y$ 对月收入 $x$ 的线性回归方程 $y=bx+a$；

(2)判断变量 $x$ 与 $y$ 之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为 $7$ 千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程 $y=bx+a$ 中，$b=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\bar{x}}^2}$，$a=\bar{y}-b\bar{x}$，其中 $\bar{x},\bar{y}$ 为样本平均值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\bar{x}=8$，$\bar{y}=2$；$b=\frac{184-10\times 8\times 2}{720-10\times 8^2}=\frac{24}{80}=0.3$，$a=2-0.3\times 8=-0.4$ → $\hat{y}=0.3x-0.4$。
2. $b=0.3>0$ → 正相关。
3. $x=7$ → $\hat{y}=2.1-0.4=1.7$（千元）。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$\hat{y}=0.3x-0.4$；(2)正相关；(3)$1.7$ 千元

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由题意 $\bar{x}=\frac{80}{10}=8,\bar{y}=\frac{20}{10}=2.$ 代入公式： $b=\frac{\sum _{i=1}^{10}{x}_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2-n{\bar{x}}^2}=\frac{184-10\times 8\times 2}{720-10\times 8^2}=\frac{184-160}{720-640}=\frac{24}{80}=0.3,$ $a=\bar{y}-b\bar{x}=2-0.3\times 8=-\mathrm{0.4.}$ 故所求线性回归方程为 $\hat{y}=0.3x-\mathrm{0.4.}$ （2） $b=0.3>0$，即 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，故变量 $x$ 与 $y$ 之间是正相关。 （3） 把 $x=7$ 代入回归方程： $\hat{y}=0.3\times 7-0.4=2.1-0.4=1.7(\text{千元}).$ 即预测该家庭的月储蓄为 $1.7$ 千元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性回归方程与预测

核心方法：$\bar{x}=8$，$\bar{y}=2$；$b=\frac{\sum x_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2-n{\bar{x}}^2}=\frac{184-10\times 8\times 2}{720-10\times 64}=\frac{24}{80}=0.3$，$a=\bar{y}-b\bar{x}=2-0.3\times 8=-0.4$ → $\hat{y}=0.3x-0.4$；$b>0$ → 正相关；$x=7$ → $\hat{y}=0.3\times 7-0.4=1.7$（千元）

避坑指南：回归直线必过样本中心 $(\bar{x},\bar{y})$——先算均值再代公式；判断相关方向只看 $b$ 的符号；第（3）问是预测值不是真实值，语言上要写”预测”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性回归方程的求法与实际预测。

结论推广：最小二乘公式；样本中心点；回归直线过样本中心。

方法推广：算均值 → 代公式求 $b,a$ → 由 $b$ 的符号判相关 → 代 $x=7$ 预测。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-04 单-回归正负相关
• 2013-福建卷文-11 单-线性回归比较
• 2014-湖北卷文-06 单-回归分析