2011-广东卷理-03 单-向量共线

本题导读

本题考查平面向量的共线定理，以及平面向量垂直与数量积的关系。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 若非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 满足 $\mathbf{a}//\mathbf{b}$ 且 $\mathbf{a}\perp \mathbf{c}$，则 $\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}+2\mathbf{b})=$ ()

A. $4$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\mathbf{a}\perp \mathbf{c}$ 得出 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=0$。
2. 由 $\mathbf{a}//\mathbf{b}$ 得出存在实数 $\lambda$ 使得 $\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$，进而推知 $\mathbf{b}\perp \mathbf{c}$ 即 $\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=0$。
3. 展开数量积代入计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

展开数量积： $\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}+2\mathbf{b})=\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}+2\mathbf{c}\cdot \mathbf{b}$ 因为 $\mathbf{a}\perp \mathbf{c}$，所以 $\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}=0$。 又因为非零向量 $\mathbf{a}//\mathbf{b}$，所以存在实数 $\lambda \ne 0$，使得 $\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$。 因此 $\mathbf{c}\cdot \mathbf{b}=\lambda (\mathbf{c}\cdot \mathbf{a})=0$。 故 $\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}+2\mathbf{b})=0+0=0$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量垂直的充要条件 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$。
• 核心方法：向量数量积的线性分配律。
• 避坑指南：不可忽略非零向量平行关系的传递性。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于欧几里得空间中正交子空间的正交性质。
• 结论推广：若 $\mathbf{a}\perp \mathbf{c}$，则对任意与 $\mathbf{a}$ 共线的向量 $\mathbf{b}$ 以及实数 $k_1,k_2$，均有 $\mathbf{c}\cdot (k_1\mathbf{a}+k_2\mathbf{b})=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算