2011-广东卷理-10 填-定积分

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） $x{\left(x-\frac{2}{x}\right)}^7$ 的展开式中，$x^4$ 的系数是$\underline{}$. (用数字作答)

🔍【思路分析】

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1. 欲求外乘 $x$ 后的 $x^4$ 系数，即求 ${\left(x-\frac{2}{x}\right)}^7$ 展开式中 $x^3$ 的系数。
2. 写出展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
3. 建立关于 $r$ 的方程求解 $r$，再计算对应的二项式系数及数值。

✅【答案】

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$84$

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(x-\frac{2}{x}\right)}^7$ 的展开式通项为： $T_{r+1}={\text{C}}_7^r{x}^{7-r}{\left(-\frac{2}{x}\right)}^r={\text{C}}_7^r(-2{)}^r{x}^{7-2r}$ 则 $x{\left(x-\frac{2}{x}\right)}^7$ 展开式中的通项为： ${\text{C}}_7^r(-2{)}^r{x}^{8-2r}$ 令 $8-2r=4$，解得 $r=2$。 代入得 $x^4$ 的系数为： ${\text{C}}_7^2(-2{)}^2=21\times 4=84$ 故答案为 $84$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式展开式通项 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
• 核心方法：待定指数法确定 $r$。
• 避坑指南：切勿遗漏负号 $(-2{)}^r$ 以及外层的乘数因子 $x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：组合数学中多项式乘积展开的系数提取。
• 结论推广：在多项式乘积 $P(x)(a{x}^p+b{x}^{-q}{)}^n$ 中提取 $x^m$ 项，均转化为先求 $T_{r+1}$ 后令其总幂次等于目标幂次。

🔗【关联脉络】

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