2011-广东卷理-11 填-数列

本题导读

本题考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列的通项公式与性质。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 等差数列 $\{a_n\}$ 前 9 项的和等于前 4 项的和. 若 $a_1=1$，$a_k+a_4=0$，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $S_9=S_4$ 推出 $a_5+a_6+a_7+a_8+a_9=0$。
2. 根据等差中项性质，得 $5a_7=0$，从而 $a_7=0$。
3. 结合 $a_1=1$ 求出公差 $d$。
4. 由 $a_k+a_4=0$ 确定 $k$ 的值。

✅【答案】

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$10$

✍【详细解析】

Abstract

由 $S_9=S_4$ 得： $S_9-S_4=a_5+a_6+a_7+a_8+a_9=5a_7=0$ 解得 $a_7=0$。 因为 $a_7=a_1+6d=1+6d=0$，所以公差 $d=-\frac{1}{6}$。 由 $a_7=0$ 可知，当下标关于 $7$ 对称时两项之和为 $0$： $a_m+a_n=2a_{\frac{m+n}{2}}$ 由 $a_k+a_4=0=2a_7$，得： $k+4=2\times 7=14⟹k=10$ 故答案为 $10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差数列和的差值性质与下标和性质 $a_m+a_n=a_p+a_q$（当 $m+n=p+q$）。
• 核心方法：利用 $S_n-S_m$ 转化为中项求值，避免代入 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 进行繁杂化简。
• 避坑指南：注意下标和对称必须满足公差不为零时的唯一确定性。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：等差数列通项的线性性质及前 $n$ 项和的二次函数对称性。
• 结论推广：若等差数列满足 $S_p=S_q$ ($p\ne q$)，则必有 $S_{p+q}=0$，且对称轴为 $n=\frac{p+q+1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项
• 2014-福建卷理-03 单-等差数列通项
• 2008-安徽卷文-15 填-等差数列待定系数