2011-广东卷理-13 填-相关系数

本题导读

本题考查线性回归分析，以及样本中心点性质。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 某数学老师身高 $176\text{ cm}$，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 $173\text{ cm}$、$170\text{ cm}$ 和 $182\text{ cm}$. 因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为$\underline{}$ $\text{cm}$.

🔍【思路分析】

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1. 提炼数据中的“父与子”对应对 $(x,y)$，其中 $x$ 代表父亲身高，$y$ 代表儿子身高。
2. 识别三组已知数据：(爷爷, 父亲) = $(173,170)$，(父亲, 老师) = $(170,176)$，(老师, 儿子) = $(176,182)$。
3. 计算样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。
4. 运用回归系数公式 $\hat{b}=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}$ 求出回归方程，再代入儿子身高求预测的孙子身高。

✅【答案】

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$185$

✍【详细解析】

Abstract

设父亲身高为 $x$，儿子身高为 $y$。由题意，有三组已确定的父子样本数据： $(x_1,y_1)=(173,170)$（爷爷为父，父亲为子） $(x_2,y_2)=(170,176)$（父亲为父，老师为子） $(x_3,y_3)=(176,182)$（老师为父，儿子为子）

计算样本中心点： $\bar{x}=\frac{173+170+176}{3}=173$ $\bar{y}=\frac{170+176+182}{3}=176$

计算差值与方差： $x_1-\bar{x}=0$，$y_1-\bar{y}=-6$ $x_2-\bar{x}=-3$，$y_2-\bar{y}=0$ $x_3-\bar{x}=3$，$y_3-\bar{y}=6$

${\sum }_{i=1}^3(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=0\times (-6)+(-3)\times 0+3\times 6=18$ ${\sum }_{i=1}^3(x_i-\bar{x}{)}^2=0^2+(-3{)}^2+3^2=18$ 斜率 $\hat{b}=\frac{18}{18}=1$。 则 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=176-1\times 173=3$。 线性回归方程为： $\hat{y}=x+3$ 预测孙子身高时，自变量为儿子的身高 $x=182\text{ cm}$，代入得： $\hat{y}=182+3=185\text{ cm}$ 故答案为 $185$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性回归方程的构建与应用，变量对应的父子对应关系。
• 核心方法：最小二乘法求回归参数 $\hat{b}=\frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum (x-\bar{x}{)}^2}$ 与 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$。
• 避坑指南：必须分清自变量与因变量的代际关系，共有三对历史数据，切勿遗漏“爷爷与父亲”这一组。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高尔顿（Francis Galton）提出“回归”这一统计学术语时的经典身高遗传实验。
• 结论推广：在具有稳定代际身高遗传回归率的统计模型中，后代身高序列通常形成一个平移差分方程预测模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-03 单-样本相关系数
• 2013-福建卷文-11 单-线性回归比较
• 2013-重庆卷文-17 解-线性回归预测