2012-新课标卷文-03 单-样本相关系数

本题导读

本题考查样本相关系数，以及线性回归。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 在一组样本数据 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$\cdots$，$(x_n,y_n)$（$n⩾2$，$x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 不全相等）的散点图中，若所有样本点 $(x_i,y_i)$（$i=1,2,\cdots ,n$）都在直线 $y=\frac{1}{2}x+1$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为()

A. $-1$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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所有样本点恰好在一条斜率为正的直线上，是完全正相关，$r=1$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

样本相关系数 $r$ 衡量线性相关的方向与程度：$|r|=1$ 当且仅当所有样本点都在一条直线上。

本题所有点恰在斜率为正的直线 $y=\frac{1}{2}x+1$ 上，为完全正相关，故 $r=1$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：样本相关系数的意义；完全相关与回归直线

核心方法：“散点共线 ⟺ $|r|=1$“，再由斜率正负定 $r$ 的符号

避坑指南：相关系数只看方向与强度，与回归直线的斜率大小无关——别把斜率 $\frac{1}{2}$ 当成 $r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相关系数概念题，与 2014 年湖北卷理第 4 题（回归方程系数符号）同属”回归分析定性判断”家族。

结论推广：一般地：散点全部在递增直线上 $⟺r=1$；全部在递减直线上 $⟺r=-1$；无线性相关 $⟺r=0$。

方法推广：回归与相关性小题抓”三个特殊值”（$1$、$-1$、$0$）对应的散点图形态即可秒断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-04 单-回归正负相关
• 2014-湖北卷文-06 单-回归分析