2011-新课标卷文-13 填-向量垂直求参数

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量垂直的充要条件。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 为两个不共线的单位向量，$k$ 为实数，若向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 与向量 $k\vec{a}-\vec{b}$ 垂直，则 $k=$　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (k\vec{a}-\vec{b})=(k-1)(1+\vec{a}\cdot \vec{b})=0$
2. 步骤2：由不共线得 $1+\vec{a}\cdot \vec{b}\ne 0$

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

由垂直条件，$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (k\vec{a}-\vec{b})=0$。由于 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 是单位向量，设 $\vec{a}\cdot \vec{b}=c$，则

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (k\vec{a}-\vec{b})=k-c+kc-1=(k-1)(1+c)$。

两向量不共线，所以 $c>-1$，从而 $1+c\ne 0$，故 $k=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数量积展开；单位向量夹角余弦的取值范围（不共线时 $c\in (-1,1)$）

核心方法：整体展开并因式分解成 $(k-1)(1+c)$，用”不共线”排除第二个因子为零

避坑指南：不共线的单位向量满足 $c=\cos \theta \in (-1,1)$，故 $1+c\ne 0$；忽略”不共线”条件会误以为 $k=1$ 或 $c=-1$ 两解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量垂直求参数题，与 2012 年陕西卷文第 7 题、2012 年江西卷文第 12 题同族。

结论推广：$(\vec{a}+\vec{b})\perp (k\vec{a}-\vec{b})$ 且 $\vec{a},\vec{b}$ 为不共线单位向量时 $k=1$；一般地垂直条件展开后常可因式分解，用几何约束排除增根。

方法推广：向量垂直题套路：点积为零 → 按 ${\vec{a}}^2,\vec{a}\cdot \vec{b},{\vec{b}}^2$ 展开 → 因式分解 → 用模长与夹角约束排除增根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-07 单-向量垂直与二倍角
• 2012-新课标卷文-15 填-向量数量积求模
• 2012-江西卷文-12 填-单位向量垂直求值