2012-江西卷文-12 填-单位向量垂直求值

本题导读

本题考查单位向量的模为1，以及向量垂直的坐标条件。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 设单位向量 $\mathbf{m}=(x,y)$，$\mathbf{b}=(2,-1)$.若 $\mathbf{m}\perp \mathbf{b}$，则 $|x+2y|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$y=2x$ 且 $x^2+y^2=1\Rightarrow |x|=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$|x+2y|=|5x|=\sqrt{5}$。

✅【答案】

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$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\mathbf{m}\perp \mathbf{b}$ 得 $\mathbf{m}\cdot \mathbf{b}=2x-y=0$，即 $y=2x$。

$\mathbf{m}$ 为单位向量，故 $x^2+y^2=1$，代入得 $5x^2=1$，$|x|=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

所以 $|x+2y|=|x+4x|=5|x|=5\times \frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直的坐标条件 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$；单位向量模长条件

核心方法：两个条件（垂直、单位）联立解出 $x$、$y$（或其绝对值），代入目标式

避坑指南：由 $5x^2=1$ 得 $x=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$，两组解 $(x,y)=\pm \left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$；但目标式 $|x+2y|$ 取绝对值后两组结果相同，不用分类。漏掉”单位向量”条件会得 $|5x|$ 无法定值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量垂直与模长综合求值题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 15 题、2012 年浙江卷文第 15 题同族。

结论推广：$\mathbf{m}\perp (a,b)\Rightarrow$ 方向确定（相差 $\pi$），模长条件定出正负两解；目标式若为绝对值或偶函数形式则两解合一。

方法推广：向量小题按”几何条件 → 坐标方程”翻译，联立求解后检查目标式是否依赖正负号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-15 填-向量数量积求模
• 2012-浙江卷文-15 填-向量数量积中线模型
• 2012-湖南卷文-15 填-向量数量积投影