2011-安徽卷文-14 填-向量数量积夹角

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量夹角。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 已知向量 $a$，$b$ 满足 $(a+2b)\cdot (a-b)=-6$，且 $|a|=1$，$|b|=2$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：展开 $(a+2b)\cdot (a-b)=|a{|}^2-2|b{|}^2+a\cdot b$ 解出 $a\cdot b$
2. 步骤2：再用 $\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}$

✅【答案】

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夹角为 $\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

$(a+2b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+2b\cdot a-2b\cdot b=|a{|}^2+a\cdot b-2|b{|}^2$。

代 $|a|=1$，$|b|=2$：$1+a\cdot b-8=-6$，故 $a\cdot b=1$。

$\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{2}$，又 $\theta \in [0,\pi ]$，故 $\theta =\frac{\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数量积的分配律；$|a{|}^2=a\cdot a$；夹角公式 $\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}$

核心方法：展开整理出 $a\cdot b$，再走夹角公式；中间量 $a\cdot b$ 是桥梁

避坑指南：$2b\cdot a$ 与 $-a\cdot b$ 合并后是 $+a\cdot b$（数量积交换律），符号错会得 $a\cdot b=-7$（超出范围 $|a\cdot b|⩽2$ 可自查）；$|b{|}^2=4$ 别代成 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量夹角题与 2011-上海卷文-12、2011-大纲卷文-03、2011-新课标卷文-13 同族。

结论推广：推广：$(ma+nb)\cdot (pa+qb)$ 展开为 $mp|a{|}^2+(mq+np)a\cdot b+nq|b{|}^2$；解出 $a\cdot b$ 后务必用 $|a\cdot b|⩽|a||b|$ 自检，再代夹角公式并注意 $\theta \in [0,\pi ]$ 的单值性。

方法推广：向量混合运算题：全程用 $a\cdot a=|a{|}^2$ 把模与数量积统一，最后再回到几何量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-大纲卷文-03 单-向量模长
• 2011-新课标卷文-13 填-向量垂直求参数