2011-新课标卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数除法运算，以及共轭复数的概念。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 复数 $\frac{2+\text{i}}{1-2\text{i}}$ 的共轭复数是 ()

A. $-\frac{3}{5}\text{i}$　　　　　　B. $\frac{3}{5}\text{i}$　　　　　　C. $-\text{i}$　　　　　　D. $\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子分母同乘分母的共轭复数 $1+2\text{i}$ 进行分母实数化。
2. 化简求得该复数的代数形式 $a+b\text{i}$。
3. 虚部取相反数得到其共轭复数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=\frac{2+\text{i}}{1-2\text{i}}$， 分母实数化： $z=\frac{(2+\text{i})(1+2\text{i})}{(1-2\text{i})(1+2\text{i})}=\frac{2+4\text{i}+\text{i}+2{\text{i}}^2}{1^2-(2\text{i}{)}^2}=\frac{2+5\text{i}-2}{1-(-4)}=\frac{5\text{i}}{5}=\text{i}$ （亦可观察：$2+\text{i}=\text{i}(1-2\text{i})$，直接得 $z=\text{i}$）。 由共轭复数定义得： $\overline{z}=-\text{i}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数的除法运算与共轭复数的定义。
• 核心方法：
• 通法：分子分母同乘分母的共轭复数；
• 巧法：观察分子与分母的关系，$2+\text{i}=\text{i}(1-2\text{i})$ 可秒杀除法。
• 避坑指南：题目问的是化简后复数的“共轭复数”，容易直接选择原复数结果 $\text{i}$（选项 D）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自教材复数四则运算与复数基本概念的常规检验题。
• 结论推广：若复数满足 $\frac{a+b\text{i}}{b-a\text{i}}$，由于 $a+b\text{i}=\text{i}(b-a\text{i})$，该商恒为 $\text{i}$，其共轭复数恒为 $-\text{i}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数