2011-新课标卷理-04 单-期望

本题导读

本题考查古典概型，以及相互独立事件概率。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)）

有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

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1. 计算基本事件总数：每人有 3 种选择，由乘法原理总共有 $3\times 3=9$ 种情况。

2. 确定两人在同一小组的有利事件数：同选组 1、组 2 或组 3，共有 3 种。

3. 利用古典概型概率公式求比值（或直接设甲任选一组后，乙选择与甲相同组的概率为 $\frac{1}{3}$）。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

方法一（古典概型法）：

设 3 个兴趣小组分别为 1, 2, 3。

甲、乙两人各自选报一个小组的所有基本事件为 $(x,y)$（$x,y\in \{1,2,3\}$），

基本事件总数为：

$n=3\times 3=9$

两人参加同一个兴趣小组的事件包含：$(1,1),(2,2),(3,3)$，共 3 个。

所以两人参加同一个兴趣小组的概率为：

$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

方法二（分步独立分析法）：

甲同学无论选择哪一个兴趣小组，乙同学选择与甲在同一个小组的概率均为 $\frac{1}{3}$。

故所求概率为 $\frac{1}{3}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：古典概型样本空间与独立随机选择。

• 核心方法：分步乘法计数原理或相对位置概率法。

• 避坑指南：容易混淆分组分配问题，这里每个人均可独立选任意组，总基本事件为 $3^2=9$ 而非 ${\text{C}}_3^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自概率论中均匀分布的离散抽样模型与生日问题基础雏形。

• 结论推广：若 $n$ 个人独立均匀地选择 $m$ 个不同小组，则任意指定的两个人选在同一个小组的概率恒为 $\frac{1}{m}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-08 填-古典概型

• 2008-广东卷文-19 解-分层抽样与古典概型

• 2012-重庆卷文-15 填-排列与古典概型