2011-新课标卷理-10 单-向量模长

本题导读

本题考查平面向量的模长，以及向量数量积与夹角。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 已知 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 均为单位向量，其夹角为 $\theta$，有下列四个命题： $p_1:|\mathbf{a}+\mathbf{b}|>1⟺\theta \in \left[0,\frac{2\pi }{3}\right)$ $p_2:|\mathbf{a}+\mathbf{b}|>1⟺\theta \in \left(\frac{2\pi }{3},\pi \right]$ $p_3:|\mathbf{a}-\mathbf{b}|>1⟺\theta \in \left[0,\frac{\pi }{3}\right)$ $p_4:|\mathbf{a}-\mathbf{b}|>1⟺\theta \in \left(\frac{\pi }{3},\pi \right]$ 其中的真命题是 ()

A. $p_1,p_4$　　　　B. $p_1,p_3$　　　　C. $p_2,p_3$　　　　D. $p_2,p_4$

🔍【思路分析】

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1. 向量两边平方去掉模长符号：$|\mathbf{a}\pm \mathbf{b}{|}^2>1$。
2. 代入 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$，化简为关于 $\cos \theta$ 的不等式。
3. 结合向量夹角范围 $\theta \in [0,\pi ]$ 求解角 $\theta$ 的范围，判定四个命题的真假。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为单位向量，所以 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$，夹角 $\theta \in [0,\pi ]$。

• 对 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|>1$： 两边平方得：$|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2=1+2\cos \theta +1>1$。 整理得： $2\cos \theta >-1⟹\cos \theta >-\frac{1}{2}$ 由于 $\theta \in [0,\pi ]$，解得 $\theta \in \left[0,\frac{2\pi }{3}\right)$。 故命题 $p_1$ 为真命题，命题 $p_2$ 为假命题。
• 对 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|>1$： 两边平方得：$|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2=1-2\cos \theta +1>1$。 整理得： $-2\cos \theta >-1⟹\cos \theta <\frac{1}{2}$ 由于 $\theta \in [0,\pi ]$，解得 $\theta \in \left(\frac{\pi }{3},\pi \right]$。 故命题 $p_4$ 为真命题，命题 $p_3$ 为假命题。 综上，真命题为 $p_1,p_4$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量模长的代数展开式与三角不等式解集。
• 核心方法：模长问题优先“平方化”，转化为余弦函数求解。也可借助菱形对角线几何意义（等边三角形）直接判断边界角。
• 避坑指南：反三角函数单调递减性质容易导致解不等式时弄反方向，牢记 $\cos \theta >-\frac{1}{2}$ 对应靠近 $0$ 的左侧区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于以单位向量构成的菱形对角线长度分析（$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=2\cos \frac{\theta }{2}$，$|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=2\sin \frac{\theta }{2}$）。
• 结论推广：由半角公式，$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|>1⟺2\cos \frac{\theta }{2}>1⟺\frac{\theta }{2}<\frac{\pi }{3}⟺\theta <\frac{2\pi }{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算