2011-新课标卷理-12 单-函数

本题导读

本题考查反比例函数与三角函数的对称性，以及函数图象交点的对称中心。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)）

函数 $y=\frac{1}{1-x}$ 的图象与函数 $y=2\sin \pi x(-2⩽x⩽4)$ 的图象所有交点的横坐标之和等于 ()

A. 2　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

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1. 分析反比例型函数 $y=\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{x-1}$ 的对称中心：由渐近线 $x=1,y=0$ 可知其关于点 $(1,0)$ 中心对称。

2. 验证正弦型函数 $y=2\sin \pi x$ 在点 $(1,0)$ 处是否也为对称中心。

3. 结合定义域 $[-2,4]$ 关于 $x=1$ 的对称性，确定所有交点必关于点 $(1,0)$ 成对出现。

4. 数出交点的对数，利用 $x_1+x_2=2$ 计算所有交点横坐标之和。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

对于函数 $y=f(x)=\frac{1}{1-x}$：

其图象由反比例函数 $y=-\frac{1}{x}$ 向右平移 1 个单位得到，具有对称中心 $(1,0)$。

验证对称性：$f(1+t)+f(1-t)=\frac{1}{-t}+\frac{1}{t}=0$，确关于点 $(1,0)$ 中心对称。

对于函数 $y=g(x)=2\sin \pi x$：

验证对称性：

$g(1+t)=2\sin (\pi (1+t))=2\sin (\pi +\pi t)=-2\sin \pi t$

$g(1-t)=2\sin (\pi (1-t))=2\sin (\pi -\pi t)=2\sin \pi t$

$g(1+t)+g(1-t)=0$

因此，$y=g(x)$ 的图象也关于点 $(1,0)$ 中心对称。

定义域 $[-2,4]$ 的中点为 $\frac{-2+4}{2}=1$，该区间关于 $x=1$ 严格对称。

因为两函数图象均关于点 $(1,0)$ 中心对称，且在 $x=1$ 处 $f(x)$ 无定义，交点不可能为 $(1,0)$，

所以两函数图象在 $[-2,4]$ 内的所有交点必成对出现，且每一对交点 $(x_i,x_i^{\prime })$ 都关于点 $(1,0)$ 对称，

即满足：

$x_i+x_i^{\prime }=2\times 1=2$

分析两函数图象在区间 $(1,4]$ 上的交点个数：

• $g(x)=2\sin \pi x$ 的周期为 $T=\frac{2\pi }{\pi }=2$，幅值为 $[-2,2]$；

• $f(x)=-\frac{1}{x-1}$ 在 $(1,4]$ 上单调递增，且恒负（$f(x)<0$）：

• 当 $x\in (1,2)$ 时，$g(x)=2\sin \pi x<0$。$f(x)$ 从 $-\infty$ 递增到 $f(2)=-1$，$g(x)$ 从 $0$ 降到极小值 $-2$ 再回到 $g(2)=0$，二者图象有 2 个交点；

• 当 $x\in (2,3)$ 时，$g(x)>0$，而 $f(x)<0$，无交点；

• 当 $x\in (3,4)$ 时，$g(x)<0$。$f(3)=-\frac{1}{2}$，$f(4)=-\frac{1}{3}$，而 $g(x)$ 最低达 $-2$，二者图象有 2 个交点；

• 在 $x=4$ 处，$g(4)=0\ne f(4)$。

因此在区间 $(1,4]$ 上共有 $2+2=4$ 个交点。

根据对称性，在区间 $[-2,1)$ 上同样有 4 个关于 $(1,0)$ 对称的交点。

因此两图象在区间 $[-2,4]$ 内共有 8 个交点，分为 4 对。

每一对交点的横坐标之和为 2，所以所有交点的横坐标之和等于：

$4\times 2=8$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数的中心对称性识别与成对交点求和技巧。

• 核心方法：

• 确定公共对称中心 $(x_0,y_0)=(1,0)$；

• 检验区间对称性：$[-2,4]$ 对称中心恰好为 $x=1$；

• 利用单调性与正负号画草图精准数出半个区间的交点对数。

• 避坑指南：交点个数容易数漏，尤其在每个负半波内正弦曲线下降再上升，与缓慢平缓递增的反比例双曲线均相交两次。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自高等数学与高中竞赛中“关于定点对称的超越方程根的分布与求和”模型。

• 结论推广：若定义域关于 $x_0$ 对称的两个函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 均关于点 $(x_0,y_0)$ 中心对称，且图象有 $2n$ 个交点，则所有交点的横坐标之和恒为 $2n\cdot x_0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-05

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质

• 2007-天津卷理-07 单-函数单调性区间平移