2011-新课标卷理-23 解-参数方程

本题导读

本题考查圆的参数方程与普通方程互化。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \alpha \\ y=2+2\sin \alpha \end{array}$（$\alpha$ 为参数），$M$ 是 $C_1$ 上的动点，$P$ 点满足 $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，$P$ 点的轨迹为曲线 $C_2$.

(1) 求 $C_2$ 的方程；

(2) 在以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 与 $C_1$ 的异于极点的交点为 $A$，与 $C_2$ 的异于极点的交点为 $B$，求 $|AB|$.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：设 $P(x,y)$，由 $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$ 得 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right)$。将 $M$ 代入 $C_1$ 的参数方程即可得到 $C_2$ 的参数方程，或消参后化为普通方程。
2. 对 (2)：将 $C_1$ 化为极坐标方程，令 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 求出点 $A$ 的极径 ${\rho }_1$；由 $\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$ 或直接求 $C_2$ 的极径 ${\rho }_2$，计算距离 $|AB|=|{\rho }_2-{\rho }_1|$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $P(x,y),M(x_0,y_0)$。 由已知 $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，得： $(x,y)=2(x_0,y_0)⟹\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{x}{2}\\ y_0=\frac{y}{2}\end{array}$ 因为点 $M(x_0,y_0)$ 在曲线 $C_1$ 上，所以： $\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}=2\cos \alpha \\ \frac{y}{2}=2+2\sin \alpha \end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=4\cos \alpha \\ y=4+4\sin \alpha \end{array}(\alpha \text{为参数})$ 消去参数 $\alpha$，得曲线 $C_2$ 的普通方程为： $x^2+(y-4{)}^2=16$ （参数方程形式与普通方程形式均可）。

(2) 曲线 $C_1$ 的普通方程为： $x^2+(y-2{)}^2=4⟺x^2+y^2-4y=0$ 将 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 代入，得 $C_1$ 的极坐标方程为： ${\rho }^2-4\rho \sin \theta =0⟹\rho =4\sin \theta$ 将射线 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 代入，得交点 $A$ 的极径为： ${\rho }_A=4\sin \frac{\pi }{3}=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ 因为 $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$，射线与两曲线的交点 $A,B$ 同在射线 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 上， 所以点 $B$ 对应的极径为： ${\rho }_B=2{\rho }_A=4\sqrt{3}$ （亦可由 $C_2$ 的极坐标方程 $\rho =8\sin \theta$ 代入 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 求得 ${\rho }_B=8\sin \frac{\pi }{3}=4\sqrt{3}$）。 因此，线段 $AB$ 的长度为： $|AB|=|{\rho }_B-{\rho }_A|=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量与相似位似变换、极坐标与直角坐标的互化公式（$x^2+y^2={\rho }^2,y=\rho \sin \theta$）。
• 核心方法：
• 动点代换法（相关点法）直接求位似后的轨迹；
• 极径直接相减法（共线同向射线上的两点距离 $|AB|=|{\rho }_1-{\rho }_2|$）。
• 避坑指南：第 (1) 问若写普通方程，注意平方项展开与合并要准确；第 (2) 问审题注意是“异于极点的交点”，舍去 $\rho =0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自高中选修4-4以极点为位似中心的圆族及其射线截距问题。
• 结论推广：对于过极点的圆 $\rho =2R\sin \theta$，射线 $\theta =\alpha$ 截得的弦长恒为 $2R\sin \alpha$；若以极点为中心放大 $k$ 倍，截距相应放大 $k$ 倍。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2008-湖北卷文-15 填-圆参数方程与对称
• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程