2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程

本题导读

本题考查坐标系与参数方程。核心在于直接法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） （选修4-4：坐标系与参数方程）23. 已知动点 $P,Q$ 都在曲线 $C:\{\begin{array}{l}x=2\cos \beta \\ y=2\sin \beta \end{array}$（$\beta$ 为参数）上，对应参数分别为 $\beta =\alpha$ 与 $\beta =2\alpha$ ($0<\alpha <2\pi$)，$M$ 为 $PQ$ 的中点.

(1)求 $M$ 的轨迹的参数方程；

(2)将 $M$ 到坐标原点的距离 $d$ 表示为 $\alpha$ 的函数，并判断 $M$ 的轨迹是否过坐标原点.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求轨迹方程）：
   • 首先写出点 $P$ 和 $Q$ 的坐标。根据参数含义，$P(2\cos \alpha ,2\sin \alpha )$，$Q(2\cos 2\alpha ,2\sin 2\alpha )$。
   • 利用中点坐标公式 $x_M=\frac{x_P+x_Q}{2},y_M=\frac{y_P+y_Q}{2}$，直接写出 $M$ 的横纵坐标关于 $\alpha$ 的表达式。
2. 第二问（求距离并判定）：
   • 求距离 $d$：利用 $d=\sqrt{x_M^2+y_M^2}$。在展开平方项时，利用同角三角函数基本关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 以及两角差的余弦公式 $\cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ 进行化简。
   • 判定原点：判断是否存在 $\alpha \in (0,2\pi )$ 使得 $d=0$。

✅【答案】

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$M$ 的轨迹经过坐标原点

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 依题意，动点 $P,Q$ 的坐标分别为： $P(2\cos \alpha ,2\sin \alpha )$，$Q(2\cos 2\alpha ,2\sin 2\alpha )$。 由于 $M$ 为 $PQ$ 的中点，由中点坐标公式得： $x=\frac{2\cos \alpha +2\cos 2\alpha }{2}=\cos \alpha +\cos 2\alpha$ $y=\frac{2\sin \alpha +2\sin 2\alpha }{2}=\sin \alpha +\sin 2\alpha$

故点 $M$ 的轨迹参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha +\cos 2\alpha \\ y=\sin \alpha +\sin 2\alpha \end{array}(\alpha \text{为参数},0<\alpha <2\pi )$

（2）解： $M$ 点到坐标原点的距离 $d=\sqrt{x^2+y^2}$。 $x^2+y^2=(\cos \alpha +\cos 2\alpha {)}^2+(\sin \alpha +\sin 2\alpha {)}^2$ $=({\cos }^2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha +2\cos \alpha \cos 2\alpha )+({\sin }^2\alpha +{\sin }^{2}2\alpha +2\sin \alpha \sin 2\alpha )$ $=({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )+({\cos }^{2}2\alpha +{\sin }^{2}2\alpha )+2(\cos 2\alpha \cos \alpha +\sin 2\alpha \sin \alpha )$ $=1+1+2\cos (2\alpha -\alpha )$ $=2+2\cos \alpha$

所以 $d=\sqrt{2+2\cos \alpha }$ （或利用半角公式化简为 $d=2|\cos \frac{\alpha }{2}|$）。

令 $d=0$，得 $2+2\cos \alpha =0$，即 $\cos \alpha =-1$。 由于 $0<\alpha <2\pi$，解得 $\alpha =\pi$。 因为存在符合条件的 $\alpha$ 值， 所以 $M$ 的轨迹经过坐标原点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的参数方程标准形式；中点轨迹的求法；两角差的余弦公式应用。

核心方法：处理涉及参数方程的距离/模长问题时，**“平方和化简”**是固定套路，通常会配合 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 和加法定理。

避坑指南：注意参数 $\alpha$ 的取值范围 $(0,2\pi )$。在判定是否过原点时，若解出的 $\alpha$ 不在范围内，则结论相反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标系下的距离公式、和差化积公式。

结论推广：若 $P,Q$ 在圆 $x^2+y^2=R^2$ 上，参数分别为 $\alpha ,\beta$，则其重心/中点的距离公式与转角差 $|\alpha -\beta |$ 相关。

方法推广：轨迹问题若参数关系明确，首选直接代入法。若要求普通方程，则需利用三角恒等式消参。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-23 解-参数方程
• 2014-辽宁卷文-23 解-参数方程
• 2014-湖南卷文-12 填-参数方程