2011-江苏卷-08 填-反比例函数弦长最值

本题导读

本题考查反比例函数的中心对称性，以及基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，过坐标原点的一条直线与函数 $f(x)=\frac{2}{x}$ 的图象交于 $P$、$Q$ 两点，则线段 $PQ$ 长的最小值是　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由对称性得 $|PQ|=2|OP|$
2. 步骤2：设 $P\left(x,\frac{2}{x}\right)$ 用基本不等式求 $|OP{|}^2$ 的最小值

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=\frac{2}{x}$ 是奇函数，图象关于原点对称。过原点的直线与图象交于 $P$、$Q$ 两点，由对称性，原点 $O$ 是线段 $PQ$ 的中点，故 $|PQ|=2|OP|$。

设 $P\left(x,\frac{2}{x}\right)$（$x\ne 0$），则

$|OP{|}^2=x^2+\frac{4}{x^2}⩾2\sqrt{x^2\cdot \frac{4}{x^2}}=4$，

当且仅当 $x^2=2$ 即 $x=\pm \sqrt{2}$ 时取等号，此时 $|OP{|}_{\min }=2$。

所以 $|PQ{|}_{\min }=2|OP{|}_{\min }=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数图象的中心对称性；均值不等式；两点间距离公式

核心方法：利用对称性把弦长一半化归为曲线上点到原点的距离，再用基本不等式求最值

避坑指南：求得 $|OP|⩾2$ 后必须乘 $2$ 才是 $|PQ|$ 的最小值，直接答 $2$ 是本题最典型的失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反比例函数弦长最值题，与 2014 年江苏卷第 14 题（基本不等式）、2014 年江苏卷第 21D 题（均值不等式）同族。

结论推广：过原点的直线与双曲线 $xy=k$（$k>0$）相交所得弦长的最小值为 $4\sqrt{k}$。

方法推广：对称型最值题先找对称中心把目标减半，再用基本不等式（或换元）求出单段最值，最后还原题目所求的量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-14 填-正余弦定理
• 2014-江苏卷-21D 解-不等式选讲