2011-江苏卷-10 填-向量数量积基底运算

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量垂直的充要条件。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 已知 ${\mathbf{e}}_1$，${\mathbf{e}}_2$ 是夹角为 $\frac{2\pi }{3}$ 的两个单位向量，$\mathbf{a}={\mathbf{e}}_1-2{\mathbf{e}}_2$，$\mathbf{b}=k{\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2$.若 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，则 $k$ 的值为　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：算出基底的数量积
2. 步骤2：展开 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 解关于 $k$ 的方程

✅【答案】

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$\frac{5}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\mathbf{e}}_1$，${\mathbf{e}}_2$ 是夹角为 $\frac{2\pi }{3}$ 的单位向量，得

${\mathbf{e}}_1^2={\mathbf{e}}_2^2=1$，${\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=1\times 1\times \cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$。

由 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 得

$({\mathbf{e}}_1-2{\mathbf{e}}_2)\cdot (k{\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2)=k{\mathbf{e}}_1^2+(1-2k){\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2-2{\mathbf{e}}_2^2=0$。

代入数值：$k+(1-2k)\times \left(-\frac{1}{2}\right)-2=0$，即 $k-\frac{1}{2}+k-2=0$，解得 $2k=\frac{5}{2}$，$k=\frac{5}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基底数量积的计算；向量垂直的充要条件 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}⟺\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$

核心方法：基底展开法：把 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 按乘法法则展开，代入基底的点乘数值解方程

避坑指南：夹角 $\frac{2\pi }{3}$ 为钝角，$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ 的负号不能丢；展开式中交叉项系数 $(1-2k)$ 由 $1\times {\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2$ 与 $-2k{\mathbf{e}}_2\cdot {\mathbf{e}}_1$ 合并而来，不要漏乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基底数量积与垂直条件题，与 2014 年江苏卷第 12 题、2013 年江苏卷第 10 题同族。

结论推广：对两个非共线单位向量，${\mathbf{e}}_1+\lambda {\mathbf{e}}_2$ 与 $\mu {\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2$ 垂直的充要条件为 $\mu +\lambda +(1+\lambda \mu )\cos \theta =0$。

方法推广：向量基底题先把基底的所有点乘（含自身平方）一次算清，再展开目标式，把几何条件化为关于参数的方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-12 填-向量数量积
• 2013-江苏卷-10 填-向量的加减法与数乘运算