2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积

本题导读

考查向量。以 $\overrightarrow{CA}$、$\overrightarrow{CB}$ 为基底：$\overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{6}\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{MB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{5}{6}\overrightarrow{CB}$，点乘得 $-2$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 若等边 $△ABC$ 的边长为 $2\sqrt{3}$，平面内一点 $M$ 满足 $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{CB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$，则 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{6}\overrightarrow{CB}$；$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{5}{6}\overrightarrow{CB}$。
2. $|\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{CB}|=2\sqrt{3}$，$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=2\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}\times \cos 60^{\circ }=6$。
3. 展开点乘：$-\frac{2}{9}\times 12+\frac{7}{18}\times 6-\frac{5}{36}\times 12=-\frac{8}{3}+\frac{7}{3}-\frac{5}{3}=-2$。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{CB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$： $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{6}\overrightarrow{CB},\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{5}{6}\overrightarrow{CB}.$ 记 $\mathbf{a}=\overrightarrow{CA}$，$\mathbf{b}=\overrightarrow{CB}$，则 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=2\sqrt{3}$，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=12\cos 60^{\circ }=6$。 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\left(\frac{1}{3}\mathbf{a}-\frac{1}{6}\mathbf{b}\right)\cdot \left(-\frac{2}{3}\mathbf{a}+\frac{5}{6}\mathbf{b}\right)=-\frac{2}{9}|\mathbf{a}{|}^2+\frac{7}{18}\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-\frac{5}{36}|\mathbf{b}{|}^2.$ 代入数值：$-\frac{2}{9}\times 12+\frac{7}{18}\times 6-\frac{5}{36}\times 12=-\frac{8}{3}+\frac{7}{3}-\frac{5}{3}=-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的线性运算与数量积

核心方法：选定基底表示再点乘

避坑指南：$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CM}$ 一步别写错系数；等边三角形 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ 提供正的交叉项，负号集中在平方项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基底化表示向量是数量积问题的通法。

结论推广：$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|\cos 60^{\circ }=6$。

方法推广：展开后按 $|\mathbf{a}{|}^2$、$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$、$|\mathbf{b}{|}^2$ 三类合并，避免漏乘系数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷文-11 填-向量数量积基底运算
• 2011-江苏卷-10 填-向量数量积基底运算
• 2011-安徽卷文-14 填-向量数量积夹角