2011-江苏卷-11 填-分段函数求参数

本题导读

本题考查分段函数求值，以及分类讨论思想。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 已知实数 $a\ne 0$，函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+a,& x<1,\\ -x-2a,& x⩾1.\end{array}$ 若 $f(1-a)=f(1+a)$，则 $a$ 的值为　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：按 $a>0$ 与 $a<0$ 讨论 $1-a$ 与 $1+a$ 所落的分支
2. 步骤2：解方程并检验

✅【答案】

点击查看答案

$-\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $a\ne 0$，$1-a$ 与 $1+a$ 中必有一个小于 $1$、另一个大于 $1$，按 $a$ 的符号分类讨论。

① 当 $a>0$ 时，$1-a<1$，$1+a>1$，所以

$f(1-a)=2(1-a)+a=2-a$，$f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a$。

由 $f(1-a)=f(1+a)$ 得 $2-a=-1-3a$，解得 $a=-\frac{3}{2}$，与 $a>0$ 矛盾，舍去。

② 当 $a<0$ 时，$1-a>1$，$1+a<1$，所以

$f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a$，$f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a$。

由 $f(1-a)=f(1+a)$ 得 $-1-a=2+3a$，解得 $a=-\frac{3}{4}$，符合 $a<0$。

综上，$a=-\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数求值；自变量所在分支的判定与分类讨论

核心方法：先判两个自变量相对分界点 $x=1$ 的位置，确定各自代入哪一段解析式，解出参数后代回检验

避坑指南：解出 $a=-\frac{3}{2}$ 后必须与前提 $a>0$ 对照舍去，不检验会误以为有两解；两个自变量落在不同分支，不能代同一段解析式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数求参数题，与 2012 年江苏卷第 10 题（分段函数周期性）同族。

结论推广：对形如 $f(x_0-a)=f(x_0+a)$ 的条件，自变量关于 $x_0$ 对称，两值一般分居分段点两侧，须按参数符号分类。

方法推广：分段函数方程题按”定分支 → 代解析式 → 解方程 → 检验前提”四步执行，每一步的区间条件都要写明。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-10 填-分段函数周期性