2011-江西卷文-14 填-三角函数定义求坐标

本题导读

本题考查任意角三角函数的定义，以及终边上的点与三角函数值。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 已知角 $\theta$ 的顶点为坐标原点，始边为 $x$ 轴的正半轴.若 $P(4,y)$ 是角 $\theta$ 终边上一点，且 $\sin \theta =-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则 $y=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$\sin \theta =\frac{y}{\sqrt{16+y^2}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
2. 步骤2：平方解 $y$ 再定符号

✅【答案】

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$-8$

✍【详细解析】

Abstract

由三角函数定义：$|OP|=\sqrt{4^2+y^2}=\sqrt{16+y^2}$，$\sin \theta =\frac{y}{\sqrt{16+y^2}}$。

平方：$\frac{y^2}{16+y^2}=\frac{4}{5}$，$5y^2=64+4y^2$，$y^2=64$，$y=\pm 8$。

$\sin \theta <0$ 说明 $\theta$ 在第三或第四象限，又终边上点的横坐标 $4>0$，排除第三象限，$\theta$ 为第四象限角，$y<0$。

故 $y=-8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数定义（$\sin \theta =\frac{y}{r}$）；象限符号与坐标符号的匹配

核心方法：“终边上的点 + 某个三角函数值”套定义列方程，平方解绝对值，再用象限定符号

避坑指南：平方解出 $y=\pm 8$ 后必须用符号条件筛选：$\sin \theta <0$ 且横坐标为正锁定第四象限，$y$ 取负；丢掉符号讨论会二选一出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数定义题与 2014-大纲卷文-02 同族。

结论推广：推广：角 $\theta$ 终边上任一点 $(x,y)$ 满足 $\sin \theta =\frac{y}{r}$，$\cos \theta =\frac{x}{r}$，$\tan \theta =\frac{y}{x}$（$r=\sqrt{x^2+y^2}$）；已知一个三角函数值，另两个的符号由终边所在象限唯一确定。

方法推广：定义题：先写 $r$，列函数值方程；平方解根后用”函数值符号 + 坐标符号”双重筛选。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-02 单-三角函数定义