2011-江西卷文-16 解-饮料品评古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及组合计数。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共 $5$ 杯，其颜色完全相同，并且其中 $3$ 杯为 $A$ 饮料，另外 $2$ 杯为 $B$ 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 $5$ 杯饮料中选出 $3$ 杯 $A$ 饮料.若该员工 $3$ 杯都选对，则评为优秀；若 $3$ 杯选对 $2$ 杯，则评为良好；否则评为及格.假设此人对 $A$ 和 $B$ 两种饮料没有鉴别能力.

(1)求此人被评为优秀的概率；

(2)求此人被评为良好及以上的概率.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：总选法 ${\mathrm{C}}_5^3$
2. 步骤2：优秀即 3 杯全选中 ${\mathrm{C}}_3^3$
3. 步骤3：良好及以上 = 优秀 + 恰选对 2 杯

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{10}$

(2) $\frac{7}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

从 $5$ 杯中任选 $3$ 杯，共有 ${\mathrm{C}}_5^3=10$ 种等可能选法。

（1）$3$ 杯全选对：$3$ 杯 $A$ 饮料必须全被选中，只有 ${\mathrm{C}}_3^3=1$ 种选法。

故 $P(\text{优秀})=\frac{1}{10}$。

（2）良好及以上包含两类互斥情形：

选对 $3$ 杯：${\mathrm{C}}_3^3{\mathrm{C}}_2^0=1$ 种；

恰选对 $2$ 杯：从 $3$ 杯 $A$ 中选 $2$ 杯、从 $2$ 杯 $B$ 中选 $1$ 杯，${\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_2^1=6$ 种。

故 $P(\text{良好及以上})=\frac{1+6}{10}=\frac{7}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的组合计数；分类互斥事件的概率加法

核心方法：分母统一为 ${\mathrm{C}}_5^3$，分子按”选对杯数”分类计数 ${\mathrm{C}}_3^k{\mathrm{C}}_2^{3-k}$

避坑指南：“选对 $2$ 杯”意味着另 $1$ 杯选的是 $B$ 饮料——组合数 ${\mathrm{C}}_3^2{\mathrm{C}}_2^1=6$，漏乘 ${\mathrm{C}}_2^1$ 会得 $3$ 种而错算 $\frac{4}{10}$；“良好及以上”包含优秀，别把 $1$ 种漏加。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型题与 2011-新课标卷文-06、2011-重庆卷文-14、2012-安徽卷文-10 同族。

结论推广：推广：从”$m$ 件正品 + $n$ 件次品”中取 $k$ 件，恰取对 $j$ 件正品的选法为 ${\mathrm{C}}_m^j{\mathrm{C}}_n^{k-j}$，其概率分布即超几何分布的骨架；“至少/以上”型概率用互斥分类相加或 $1-P(\text{对立})$。

方法推广：古典概型大题：第一步定样本空间总数（组合数），第二步按”对几个”分类数分子；结果约分并检查各概率是否落在 $[0,1]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-06 单-古典概型
• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合
• 2012-安徽卷文-10 单-古典概型摸球