2011-江西卷理-17 解-二倍角

本题导读

本题考查二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别是 $a,b,c$，已知 $\sin C+\cos C=1-\sin \frac{C}{2}$.

(1) 求 $\sin C$ 的值；

(2) 若 $a^2+b^2=4(a+b)-8$，求边 $c$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一角为半角 $\frac{C}{2}$：利用公式 $\cos C=1-2{\sin }^2\frac{C}{2}$，将已知等式转化为关于 $\sin \frac{C}{2}$ 的关系式，解得对应角的大小并求出 $\sin C$。
2. 边长关系式 $a^2+b^2=4a+4b-8$ 移项配方，利用平方非负性确定边长 $a,b$ 的具体值。
3. 利用余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 计算边 $c$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由倍角公式，$\cos C=1-2{\sin }^2\frac{C}{2}$。 代入已知等式 $\sin C+\cos C=1-\sin \frac{C}{2}$，得： $\sin C+1-2{\sin }^2\frac{C}{2}=1-\sin \frac{C}{2}$ 整理得： $\sin C=2{\sin }^2\frac{C}{2}-\sin \frac{C}{2}$ 又 $\sin C=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$，代入上式得： $2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}=2{\sin }^2\frac{C}{2}-\sin \frac{C}{2}$ 因 $C\in (0,\pi )$，故 $\frac{C}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则 $\sin \frac{C}{2}\ne 0$。 两边同除以 $\sin \frac{C}{2}$，得： $2\cos \frac{C}{2}=2\sin \frac{C}{2}-1⟹2\left(\sin \frac{C}{2}-\cos \frac{C}{2}\right)=1⟹\sin \frac{C}{2}-\cos \frac{C}{2}=\frac{1}{2}$ 两边平方得： ${\left(\sin \frac{C}{2}-\cos \frac{C}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ ${\sin }^2\frac{C}{2}-2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}+{\cos }^2\frac{C}{2}=\frac{1}{4}$ $1-\sin C=\frac{1}{4}⟹\sin C=\frac{3}{4}$

(2) 已知等式 $a^2+b^2=4(a+b)-8$ 移项并整理： $a^2-4a+b^2-4b+8=0$ 配方得： $(a-2{)}^2+(b-2{)}^2=0$ 因为 $a,b\in \mathbf{R}$，所以 $(a-2{)}^2⩾0$，$(b-2{)}^2⩾0$， 故必有： $a-2=0⟹a=2$ $b-2=0⟹b=2$ 由 (1) 知 $\sin \frac{C}{2}-\cos \frac{C}{2}=\frac{1}{2}>0$，即 $\sin \frac{C}{2}>\cos \frac{C}{2}$。 因为 $\frac{C}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\frac{\pi }{4}<\frac{C}{2}<\frac{\pi }{2}$，即 $\frac{\pi }{2}<C<\pi$。 因此角 $C$ 为钝角，$\cos C=-\sqrt{1-{\sin }^{2}C}=-\sqrt{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$。 由余弦定理： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 代入 $a=2,b=2,\cos C=-\frac{\sqrt{7}}{4}$，得： $c^2=2^2+2^2-2\times 2\times 2\times \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)=8+2\sqrt{7}$ 注意到 $8+2\sqrt{7}=1+2\sqrt{7}+7=(1+\sqrt{7}{)}^2$， 所以 $c=\sqrt{7}+1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：半角与倍角公式转化、平方配凑法、余弦定理。
• 核心方法：
• 观察到等式两端具有 $\cos C$ 与 $1-\sin \frac{C}{2}$，利用倍角公式拆解并因式化简；
• 看到二次项与一次项混合等式，优先尝试配方构造平方和为 0。
• 避坑指南：第 (2) 问求 $\cos C$ 时极易忽略角 $C$ 的钝角判定导致正负号写错。需由 $\sin \frac{C}{2}-\cos \frac{C}{2}>0$ 确定 $\frac{C}{2}>\frac{\pi }{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：三角恒等式解方程与柯西不等式/完全平方式极值点条件的综合题。
• 结论推广：形如 $\sin \theta \pm \cos \theta =t$ 的结构，平方后必对应二倍角 $1\pm \sin 2\theta =t^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2025-天津卷-16 解-解三角形综合
• 2012-天津卷文-16 解-正余弦定理与二倍角
• 2013-天津卷文-16 解-正余弦定理解三角形