2013-天津卷文-16 解-正余弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于边角互化、余弦定理求边的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别是 $a$，$b$，$c$，已知 $b\sin A=3c\sin B$，$a=3$，$\cos B=\frac{2}{3}$.

(1)求 $b$ 的值；

(2)求 $\sin \left(2B-\frac{\pi }{3}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ 由 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得 $b\sin A=a\sin B$，代入已知：$a\sin B=3c\sin B$，$a=3c$；又 $a=3$ → $c=1$。
2. 余弦定理：$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=9+1-4=6$ → $b=\sqrt{6}$。
3. $(2)$ $\sin B=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ → $\sin 2B=\frac{4\sqrt{5}}{9}$，$\cos 2B=-\frac{1}{9}$。
4. $\sin \left(2B-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{4\sqrt{5}}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{9}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{5}+\sqrt{3}}{18}$。

✅【答案】

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(1)$\sqrt{6}$；(2)$\frac{4\sqrt{5}+\sqrt{3}}{18}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得 $b\sin A=a\sin B.$ 代入已知条件 $b\sin A=3c\sin B$，得 $a\sin B=3c\sin B.$ 因为 $B$ 是三角形内角，$\sin B>0$，故 $a=3c.$ 又 $a=3$，所以 $c=1$。 由余弦定理： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=3^2+1^2-2\times 3\times 1\times \frac{2}{3}=9+1-4=6,$ 故 $b=\sqrt{6}$。 （2） 由 $\cos B=\frac{2}{3}$ 且 $B\in (0,\pi )$，得 $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}.$ 于是 $\sin 2B=2\sin B\cos B=2\times \frac{\sqrt{5}}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4\sqrt{5}}{9},$ $\cos 2B=2{\cos }^{2}B-1=2\times \frac{4}{9}-1=\frac{8}{9}-1=-\frac{1}{9}.$ 所以 $\sin \left(2B-\frac{\pi }{3}\right)=\sin 2B\cos \frac{\pi }{3}-\cos 2B\sin \frac{\pi }{3}$ $=\frac{4\sqrt{5}}{9}\times \frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{9}\right)\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{9}+\frac{\sqrt{3}}{18}=\frac{4\sqrt{5}+\sqrt{3}}{18}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理余弦定理解三角形与二倍角求值

核心方法：$(1)$ 由 $b\sin A=3c\sin B$ 及 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得 $\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{a}{b}$，两边同乘 $b$：$b\sin A=a\sin B$，故 $a\sin B=3c\sin B$，约去 $\sin B>0$ 得 $a=3c$，由 $a=3$ 得 $c=1$；再由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=9+1-2\times 3\times 1\times \frac{2}{3}=6$，故 $b=\sqrt{6}$。$(2)$ $\cos B=\frac{2}{3}$ → $\sin B=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$；$\sin 2B=2\sin B\cos B=\frac{4\sqrt{5}}{9}$，$\cos 2B=2{\cos }^{2}B-1=-\frac{1}{9}$；$\sin \left(2B-\frac{\pi }{3}\right)=\sin 2B\cos \frac{\pi }{3}-\cos 2B\sin \frac{\pi }{3}=\frac{2\sqrt{5}}{9}+\frac{\sqrt{3}}{18}=\frac{4\sqrt{5}+\sqrt{3}}{18}$

避坑指南：$(1)$ 条件里 $b\sin A$ 恰好可以”边化角”配成正弦定理的比：$\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}$ 交叉相乘即得 $b\sin A=a\sin B$，这是本题的突破口；$(2)$ 求 $\sin \left(2B-\frac{\pi }{3}\right)$ 要用两角差公式，先分别求 $\sin 2B$、$\cos 2B$，注意 $\cos 2B$ 是负的，代入时不要漏负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理、余弦定理与二倍角公式的综合运用。

结论推广：正弦定理（边角互化）；余弦定理（已知两边及夹角求第三边）；二倍角公式与两角差的正弦公式。

方法推广：先”边化角”约去 $\sin B$ 得边的关系 → 余弦定理求 $b$ → 二倍角求 $\sin 2B,\cos 2B$ → 两角差公式求值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-05 单-正弦定理
• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角
• 2013-安徽卷文-09 单-解三角形求角