2012-天津卷文-16 解-正余弦定理与二倍角

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于余弦定理法、展开法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别是 $a$，$b$，$c$. 已知 $a=2$，$c=\sqrt{2}$，$\cos A=-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

(1)求 $\sin C$ 和 $b$ 的值；

(2)求 $\cos \left(2A+\frac{\pi }{3}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

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$\sin A=\frac{\sqrt{14}}{4}$，$\sin C=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$b=1$；$\cos 2A=-\frac{3}{4}$，$\sin 2A=-\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\cos \left(2A+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{21}-3}{8}$。

✅【答案】

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(1)$\sin C=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$b=1$；(2)$\frac{\sqrt{21}-3}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$A\in (0,\pi )$ 且 $\cos A=-\frac{\sqrt{2}}{4}$，故 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{\sqrt{14}}{4}$。

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$：$\sin C=\frac{c\sin A}{a}=\frac{\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{14}}{4}}{2}=\frac{\sqrt{28}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$：$4=b^2+2-2b\sqrt{2}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=b^2+2+b$，即 $b^2+b-2=0$，解得 $b=1$（舍负）。

（2）$\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1=2\times \frac{1}{8}-1=-\frac{3}{4}$；$\sin 2A=2\sin A\cos A=2\times \frac{\sqrt{14}}{4}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=-\frac{\sqrt{7}}{4}$。

$\cos \left(2A+\frac{\pi }{3}\right)=\cos 2A\cos \frac{\pi }{3}-\sin 2A\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}-\left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{21}-3}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与余弦定理；二倍角公式与两角和的余弦公式

核心方法：先求 $\sin A$，再用正弦、余弦定理分别求 $\sin C$ 与 $b$，最后展开 $\cos \left(2A+\frac{\pi }{3}\right)$

避坑指南：$\cos A<0$ 说明 $A$ 为钝角，$\sin A$ 取正；$-2bc\cos A$ 代入负余弦后变成 $+b$，符号易错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形基础解答题，与 2014 年天津卷文第 16 题、2013 年天津卷文第 16 题同族。

结论推广：已知两边及其中一边对角的余弦时，第三边由余弦定理化为二次方程；$A$ 为钝角时 $2A$ 的三角函数值符号要按象限判断。

方法推广：解三角形套路：角化边或边化角 → 定理列式 → 解方程；三角求值按展开或降幂化为已知角的和差。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-16 解-解三角形
• 2015-天津卷文-16 解-解三角形
• 2013-天津卷文-16 解-正余弦定理解三角形