2011-浙江卷文-16 填-对称换元最值

本题导读

本题考查换元法，以及均值不等式。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 若实数 $x$，$y$ 满足 $x^2+y^2+xy=1$，则 $x+y$ 的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：令 $s=x+y$
2. 步骤2：$d=x-y$
3. 步骤3：条件化为 $\frac{3s^2+d^2}{4}=1$
4. 步骤4：$3s^2⩽4$

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

令 $s=x+y$，$d=x-y$，则 $x=\frac{s+d}{2}$，$y=\frac{s-d}{2}$。

$x^2+y^2+xy=\frac{(s+d{)}^2+(s-d{)}^2}{4}+\frac{s^2-d^2}{4}=\frac{2s^2+2d^2+s^2-d^2}{4}=\frac{3s^2+d^2}{4}=1$。

故 $3s^2=4-d^2⩽4$，$s^2⩽\frac{4}{3}$，$s⩽\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

当 $d=0$ 即 $x=y$ 时取等，此时 $x=y=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 满足条件。故 $x+y$ 的最大值为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对称条件的和差换元；二次型的最值

核心方法：$x^2+y^2+xy$ 关于 $x,y$ 对称，令 $s=x+y$、$d=x-y$ 后条件只含 $3s^2+d^2$，目标 $s$ 的范围立现

避坑指南：展开 $(s\pm d{)}^2$ 时系数易错：$x^2+y^2=\frac{s^2+d^2}{2}$，$xy=\frac{s^2-d^2}{4}$，合并为 $\frac{3s^2+d^2}{4}$；取等要求 $d=0$，即最大值在 $x=y$ 处取得，而非 $x\ne y$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件最值题与 2014-浙江卷文-16、2012-浙江卷文-09、2011-天津卷文-12 同族。

结论推广：推广：$x^2+y^2+kxy=1$ 下 $x+y$ 的最大值为 $\sqrt{\frac{2}{2+k}}$（$k>-2$）；本题 $k=1$ 得 $\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

方法推广：对称最值题：见到轮换对称式先试 $s=x+y$，$d=x-y$（或 $xy$ 用 $s$ 表示），把二元条件降为 $s$ 与一个平方项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷文-16 填-均值不等式最值
• 2012-浙江卷文-09 单-基本不等式最值
• 2011-天津卷文-12 填-基本不等式最值