2008-江苏卷-09 填-直线方程补全

本题导读

本题是对称补全型填空：$E$ 与 $F$ 地位对等（分别由 $CP$、$BP$ 交出），把 $OE$ 方程中的 $b$ 与 $c$ 交换即得 $OF$。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设三角形 $ABC$ 的顶点分别为 $A(0,a)$，$B(b,0)$，$C(c,0)$，点 $P(0,p)$ 为线段 $AO$ 上的一点（异于端点），这里 $a$，$b$，$c$，$p$ 为非零实数. 设直线 $BP$，$CP$ 分别与边 $AC$，$AB$ 交于点 $E$，$F$. 某同学已正确求得 $OE$ 的方程：$\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)x+\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{a}\right)y=0$. 请你完成直线 $OF$ 的方程：$()x+\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{a}\right)y=0$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $E$ 由直线 $BP$ 与边 $AC$ 相交而来，$F$ 由直线 $CP$ 与边 $AB$ 相交而来，两者关于 $y$ 轴地位对等。
2. 对比结构：$OE$ 方程中 $\frac{1}{b}-\frac{1}{c}$ 来源于 $B$、$C$ 的横坐标，$OF$ 方程中应把 $b$、$c$ 交换。

✅【答案】

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$\frac{1}{c}-\frac{1}{b}$

✍【详细解析】

Abstract

直线 $OF$ 过原点与 $F$。$F$ 是直线 $CP$ 与 $AB$ 的交点，与 $E$（直线 $BP$ 与 $AC$ 的交点）结构对等，只需把 $OE$ 方程中的 $b$ 与 $c$ 互换。 也可直接验证：$F$ 在直线 $AB$（截距式 $\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$）上，又在直线 $CP$（$\frac{x}{c}+\frac{y}{p}=1$）上，两式联立消去常数项可得 $F$ 满足 $\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\right)x+\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{a}\right)y=0$。 故所填为 $\frac{1}{c}-\frac{1}{b}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线方程的结构对称

核心方法：识别 $E$、$F$ 地位对等，交换 $b$、$c$ 补全

避坑指南：对称来自 $B$、$C$ 互换而 $A$、$P$ 不动，只换 $x$ 系数部分；$y$ 的系数 $(\frac{1}{p}-\frac{1}{a})$ 保持不变。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：江苏卷特色的结构补全题，考查对称意识与直线方程。

结论推广：图形中对等元素的方程可由对称互换直接写出。

方法推广：找对称关系：哪些量互换、哪些量不动，先列清单再改式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-06 单-直线方程
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2010-湖南卷文-14 填-垂直平分线圆对称
• 2011-浙江卷文-16 填-对称换元最值