2011-天津卷文-12 填-基本不等式最值

本题导读

本题考查对数的运算，以及基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 已知 ${\log }_{2}a+{\log }_{2}b⩾1$，则 $3^a+9^b$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $ab⩾2$ 得 $a+2b⩾4$（均值不等式）
2. 步骤2：再对 $3^a+3^{2b}$ 用基本不等式

✅【答案】

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$18$

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\log }_{2}a+{\log }_{2}b={\log }_2(ab)⩾1$ 且 $a,b>0$，得 $ab⩾2$。

由均值不等式 $a+2b⩾2\sqrt{2ab}⩾2\sqrt{4}=4$。

于是 $3^a+9^b=3^a+3^{2b}⩾2\sqrt{3^{a+2b}}⩾2\sqrt{3^4}=18$。

当 $a=2b$ 且 $2ab=4$ 即 $a=2$，$b=1$ 时（满足 $ab=2⩾2$），等号同时成立，故最小值为 $18$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数与指数的互化；均值不等式的链式使用

核心方法：先由对数条件得 $ab$ 下界，再用 $a+2b⩾2\sqrt{2ab}$ 放大指数和，最后对指数式用基本不等式

避坑指南：两处等号须同时成立：$a=2b$ 与 $ab=2$ 联立得 $a=2,b=1$，此时约束也满足；若只顾一处等号会得到取不到的下界。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基本不等式最值题与 2013-天津卷文-14、2012-浙江卷文-09、2013-四川卷文-13 同族。

结论推广：推广：$x+y⩾2\sqrt{xy}$ 与指数运算 $3^x+3^y⩾2\sqrt{3^{x+y}}$ 叠加时，目标只依赖 $x+y$，故只需 $x+y$ 的下界。

方法推广：条件最值：把约束化到目标所依赖的量（本题 $a+2b$）上，再逐层用不等式，最后必须验证等号可取。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-14 填-基本不等式最值
• 2012-浙江卷文-09 单-基本不等式最值
• 2013-四川卷文-13 填-基本不等式取等