2011-浙江卷文-18 解-三角函数图象求参

本题导读

本题考查正弦型函数的图象与性质，以及平面向量的夹角。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 已知函数 $f(x)=A\sin \left(\frac{\pi }{3}x+\phi \right)$，$x\in \mathrm{R}$，$A>0$，$0<\phi <\frac{\pi }{2}$.$y=f(x)$ 的部分图象如图所示，$P$，$Q$ 分别为该图象的最高点和最低点，点 $P$ 的坐标为 $(1,A)$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期及 $\phi$ 的值；

(2) 若点 $R$ 的坐标为 $(1,0)$，$\angle PRQ=\frac{2\pi }{3}$，求 $A$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 周期公式 + 最高点相位 $\frac{\pi }{3}+\phi =\frac{\pi }{2}$
2. 步骤2：(2) 定出 $Q(4,-A)$
3. 步骤3：用 $\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}$ 的夹角公式

✅【答案】

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(1) $T=6$，$\phi =\frac{\pi }{6}$

(2) $A=\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 角频率为 $\frac{\pi }{3}$，故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\pi /3}=6$。

$P(1,A)$ 是最高点：$\sin \left(\frac{\pi }{3}+\phi \right)=1$，即 $\frac{\pi }{3}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$。由 $0<\phi <\frac{\pi }{2}$ 得 $\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{3}+\phi <\frac{5\pi }{6}$，只能取 $\frac{\pi }{3}+\phi =\frac{\pi }{2}$，故 $\phi =\frac{\pi }{6}$。

(2) 最低点满足 $\frac{\pi }{3}x+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$，结合图象中 $Q$ 在 $P$ 右侧相邻位置，取 $x=4$，$Q=(4,-A)$。

$\overrightarrow{RP}=(0,A)$，$\overrightarrow{RQ}=(3,-A)$。

$\cos \angle PRQ=\frac{\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}}{|\overrightarrow{RP}||\overrightarrow{RQ}|}=\frac{-A^2}{A\sqrt{9+A^2}}=-\frac{A}{\sqrt{9+A^2}}$。

由 $\angle PRQ=\frac{2\pi }{3}$：$-\frac{A}{\sqrt{9+A^2}}=-\frac{1}{2}$，即 $4A^2=9+A^2$，$A^2=3$，$A=\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期与初相的确定；相邻最高最低点坐标；向量夹角公式

核心方法：最高点给相位方程，$\phi$ 的范围唯一化；最低点由相位差 $\pi$ 定横坐标（相邻），夹角用向量点积

避坑指南：最低点横坐标满足 $\frac{\pi }{3}x+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$，解得 $x=4$（与 $P$ 相邻），若取下一周期 $x=10$ 则与图不符；$\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}=-A^2$ 中的负号来自 $(0,A)\cdot (3,-A)$，丢负号会解不出题。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型图象题与 2012-湖南卷文-18、2012-浙江卷文-06、2014-北京卷文-16 同族。

结论推广：推广：$f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ 的最高点 $P(x_0,A)$ 与相邻最低点 $Q\left(x_0+\frac{\pi }{\omega },-A\right)$，对图外任一点 $R$ 的张角可用向量夹角公式统一处理。

方法推广：三角大题：图象信息题先列”相位 = 特殊角”的方程组；几何角（张角）转向量点积是标准桥梁。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-18 解-三角函数图象与单调区间
• 2012-浙江卷文-06 单-三角函数图象变换
• 2014-北京卷文-16 解-三角函数图象