2011-浙江卷理-15 填-独立重复试验

本题导读

本题考查独立重复试验与概率乘法公式，以及离散型随机变量的数学期望与线性性质。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 $\frac{2}{3}$，得到乙、丙公司面试的概率均为 $p$，且三个公司是否让其面试是相互独立的. 记 $X$ 为该毕业生得到面试的公司个数. 若 $P(X=0)=\frac{1}{12}$，则随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用独立事件乘积公式表示 $P(X=0)$（即三个公司均未得到面试）。
2. 解出概率参数 $p$。
3. 利用期望的线性性质求 $E(X)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)$。

✅【答案】

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$\frac{5}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设事件 $A,B,C$ 分别表示该毕业生得到甲、乙、丙公司面试，则 $P(A)=\frac{2}{3}$，$P(B)=p$，$P(C)=p$. $P(X=0)$ 表示三个公司都没有得到面试，由相互独立性得： $P(X=0)=P(\bar{A})P(\bar{B})P(\bar{C})=\left(1-\frac{2}{3}\right)(1-p)(1-p)=\frac{1}{3}(1-p{)}^2$ 已知 $P(X=0)=\frac{1}{12}$，所以： $\frac{1}{3}(1-p{)}^2=\frac{1}{12}⟹(1-p{)}^2=\frac{1}{4}$ 因为概率 $p\in [0,1]$，故 $1-p=\frac{1}{2}⟹p=\frac{1}{2}$. 设 $X_1,X_2,X_3$ 分别为是否得到甲、乙、丙面试的示性变量，则 $X=X_1+X_2+X_3$. 由期望的线性性质： $E(X)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)=P(A)+P(B)+P(C)=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$ 故答案为：$\frac{5}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：独立事件概率乘法公式、数学期望的线性性质 $E(\sum X_i)=\sum E(X_i)$.
• 核心方法：示性变量法求和期望，避免繁琐的二项分布分布列计算。
• 避坑指南：解平方方程时注意概率的取值范围限制 $0⩽p⩽1$.

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考概率与统计大题或小题中的核心考点。
• 结论推广：独立重复试验或独立试验中，总成功次数的期望等于各次成功概率之和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2013-湖北卷理-09 单-数学期望
• 2014-上海卷理-13 填-数学期望