2013-湖北卷理-09 单-数学期望

本题导读

本题考查离散型随机变量，以及数学期望。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 $125$ 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为 $X$，则 $X$ 的均值 $E(X)=$()

A. $\frac{126}{125}$　　　　　B. $\frac{6}{5}$　　　　　C. $\frac{168}{125}$　　　　　D. $\frac{7}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析切割情况：$125=5^3$，说明大正方体每条棱被切成 $5$ 等份。
2. 变量 $X$ 的取值：小正方体的涂漆面数 $X$ 可能为 $0,1,2,3$。
3. 分类计数：
   • $X=3$：位于 $8$ 个顶点处。
   • $X=2$：位于 $12$ 条棱上（排除顶点）。每条棱上有 $5-2=3$ 个。
   • $X=1$：位于 $6$ 个面的中心。每个面有 $(5-2{)}^2=9$ 个。
   • $X=0$：位于内部中心。数量为 $(5-2{)}^3=27$ 个。
4. 计算概率与期望：根据 $P(X=i)=\frac{n_i}{125}$ 列出分布列，利用 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：对小正方体进行分类计数 由 $5\times 5\times 5=125$ 知：

• $X=3$（顶点）：$n_3=8$。
• $X=2$（棱上）：$n_2=12\times (5-2)=36$。
• $X=1$（面上）：$n_1=6\times (5-2{)}^2=54$。
• $X=0$（内部）：$n_0=(5-2{)}^3=27$。 （检验：$8+36+54+27=125$，计数正确）

第二步：求概率分布列

• $P(X=3)=\frac{8}{125}$
• $P(X=2)=\frac{36}{125}$
• $P(X=1)=\frac{54}{125}$
• $P(X=0)=\frac{27}{125}$

第三步：计算均值（期望） $E(X)=0\times \frac{27}{125}+1\times \frac{54}{125}+2\times \frac{36}{125}+3\times \frac{8}{125}$ $E(X)=\frac{0+54+72+24}{125}=\frac{150}{125}$ $E(X)=\frac{6}{5}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：离散型随机变量分布列的建立及期望的定义。 2. 核心技巧：“剥皮法”计数。 - 3面：固定 $8$ 个。 - 2面：$12(n-2)$。 - 1面：$6(n-2{)}^2$。 - 0面：$(n-2{)}^3$。

核心方法：见详细解析

避坑指南：计数时要确保不重不漏，最后求和检查是否等于总数 $125$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：方差 $D(X)$ 的计算、二项分布。

结论推广：对于 $n^3$ 个小正方体，涂漆总面数为 $6n^2$。由于每个面被平分到 $n^3$ 个个体上，单次抽取的期望值必然满足 $E(X)=\frac{\text{总涂漆面积}}{\text{总个数}}=\frac{6n^2}{n^3}=\frac{6}{n}$。 - 本题 $n=5$，故 $E(X)=\frac{6}{5}$。这种“总体平摊”的思想可以作为选择题的快速求解方法。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.06 正方体的性质
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-08 单-期望
• 2025-上海卷-06 填-期望