2011-湖北卷文-06 单-辅助角不等式

本题导读

本题考查辅助角公式，以及三角不等式。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin x-\cos x$，$x\in \mathbf{R}$. 若 $f(x)⩾1$，则 $x$ 的取值范围为 ()

A. $\left\{x\mid 2k\pi +\frac{\pi }{3}⩽x⩽2k\pi +\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$　　　　　　　　　　　B. $\left\{x\mid k\pi +\frac{\pi }{3}⩽x⩽k\pi +\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$

C. $\left\{x\mid 2k\pi +\frac{\pi }{6}⩽x⩽2k\pi +\frac{5\pi }{6},k\in \mathbf{Z}\right\}$　　　　　　　　　　D. $\left\{x\mid k\pi +\frac{\pi }{6}⩽x⩽k\pi +\frac{5\pi }{6},k\in \mathbf{Z}\right\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$f(x)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)⩾1$
2. 步骤2：整体角解不等式

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$。

$f(x)⩾1$ 即 $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)⩾\frac{1}{2}$。

由正弦曲线，$\frac{\pi }{6}⩽x-\frac{\pi }{6}⩽\frac{5\pi }{6}$（在长度 $2\pi$ 的周期内），即 $2k\pi +\frac{\pi }{6}⩽x-\frac{\pi }{6}⩽2k\pi +\frac{5\pi }{6}$。

故 $2k\pi +\frac{\pi }{3}⩽x⩽2k\pi +\pi$，$k\in \mathbf{Z}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式；$\sin t⩾a$ 型不等式的周期解

核心方法：化 $A\sin (x+\phi )$ 后把 $x-\frac{\pi }{6}$ 看成整体，在标准区间解出再加周期

避坑指南：周期是 $2\pi$ 不是 $\pi$——$f(x)$ 虽含 $\sin$ 与 $\cos$ 的组合，其振幅形式 $2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的最小正周期为 $2\pi$，选项 B、D 的 $k\pi$ 结构是陷阱；解完别忘把区间整体平移回 $x$（左端 $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角不等式题与 2011-上海卷文-04、2013-湖北卷理-04、2012-大纲卷文-15 同族。

结论推广：推广：$\sin t⩾\frac{1}{2}$ 的解为 $t\in \left[2k\pi +\frac{\pi }{6},2k\pi +\frac{5\pi }{6}\right]$；$\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的相移由 $\tan \phi =\frac{-1}{\sqrt{3}}$ 定符号。

方法推广：三角不等式：先辅助角合一，再”整体角 + 标准区间 + 加周期”三步走，最后核对端点是否平移正确。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-04 填-辅助角最值
• 2013-湖北卷理-04 单-辅助角公式
• 2012-大纲卷文-15 填-辅助角求最值点