2011-湖北卷文-07 单-球与内接正方体

本题导读

本题考查球的体积，以及正方体的外接球。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 设球的体积为 $V_1$，它的内接正方体的体积为 $V_2$，下列说法中最合适的是 ()

A. $V_1$ 比 $V_2$ 大约多一半　　　　　　　B. $V_1$ 比 $V_2$ 大约多两倍半

C. $V_1$ 比 $V_2$ 大约多一倍　　　　　　　D. $V_1$ 比 $V_2$ 大约多一倍半

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：设球半径 $R$
2. 步骤2：内接正方体对角线 $=2R$
3. 步骤3：算出 $V_1/V_2$ 的准确比值再估计

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设球半径为 $R$，则 $V_1=\frac{4}{3}\pi R^3$。

球的内接正方体的体对角线等于球的直径 $2R$。设正方体棱长为 $a$，则 $\sqrt{3}a=2R$，$a=\frac{2R}{\sqrt{3}}$，故 $V_2=a^3=\frac{8R^3}{3\sqrt{3}}$。

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{4\pi R^3/3}{8R^3/(3\sqrt{3})}=\frac{\pi \sqrt{3}}{2}\approx \frac{3.1416\times 1.732}{2}\approx 2.72$。

即 $V_1$ 约是 $V_2$ 的 $2.72$ 倍，比 $V_2$ 多约 $1.72$ 倍，“大约多一倍半”最合适，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：内接正方体的体对角线；体积比的估算

核心方法：以球半径为参数统一表示两个体积，比值 $\frac{\pi \sqrt{3}}{2}$ 化为小数比较

避坑指南：“多一倍半”指多出 $1.5$ 倍（即约 $2.5$ 倍的关系），$\pi \sqrt{3}/2-1\approx 1.72$ 与之最接近；体对角线与直径相等是内接关系的核心——别把棱长当直径（错成 $a=2R$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球与内接体题与 2013-天津卷文-10、2013-新课标I卷理-06、2012-山东卷文-13 同族。

结论推广：推广：球与其内接正方体体积比恒为 $\frac{\pi \sqrt{3}}{2}\approx 2.72$，与球的大小无关；同法可算内接圆柱、内接正四面体等，比值皆为常数。

方法推广：内接外切问题：抓住”切点 / 顶点”给出的长度关系（对角线、母线）把两个几何体用同一参数表示。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-10 填-正方体外接球
• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积
• 2012-山东卷文-13 填-正方体内锥体体积