2013-天津卷文-10 填-正方体外接球

本题导读

本题考查球的体积，以及正方体的结构特征。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为 $\frac{9\pi }{2}$，则正方体的棱长为 　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{9\pi }{2}$ → $R^3=\frac{27}{8}$ → $R=\frac{3}{2}$。
2. $\sqrt{3}a=2R=3$ → $a=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R$。由球的体积公式 $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{9\pi }{2}\Rightarrow R^3=\frac{27}{8}\Rightarrow R=\frac{3}{2}.$ 正方体的所有顶点在同一球面上，故该球是正方体的外接球，球的直径等于正方体的体对角线。设正方体棱长为 $a$，则体对角线长为 $\sqrt{3}a$，于是 $\sqrt{3}a=2R=3\Rightarrow a=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$ 故正方体的棱长为 $\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体的外接球与球的体积

核心方法：$\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{9\pi }{2}\Rightarrow R^3=\frac{27}{8}\Rightarrow R=\frac{3}{2}$；正方体棱长 $a$ 满足 $\sqrt{3}a=2R\Rightarrow a=\frac{2R}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

避坑指南：正方体外接球直径是体对角线 $\sqrt{3}a$：先把球的体积反解出 $R$，再由 $2R=\sqrt{3}a$ 求棱长；容易误用面对角线 $(\sqrt{2}a)$ 而把答案算成 $\frac{\sqrt{6}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体的外接球（体对角线与球直径的关系）。

结论推广：球的体积公式反解半径；体对角线为球直径。

方法推广：由 $V$ 求 $R$ → 用 $\sqrt{3}a=2R$ 求棱长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-15 填-球表面积
• 2013-北京卷文-08 单-正方体距离取值
• 2013-安徽卷文-15 填-正方体截面