2011-湖南卷理-15 填-几何概型

本题导读

本题考查几何概型，以及条件概率的定义与计算公式。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 如图所示，$EFGH$ 是以 $O$ 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 $A$ 表示事件“豆子落在正方形 $EFGH$ 内”，$B$ 表示事件“豆子落在扇形 $OHE$（阴影部分）内”，则 (1) $P(A)=$ $\underline{}$；(2) $P(B|A)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 圆的面积为 $S_{\text{圆}}=\pi R^2=\pi$。
2. 内接正方形对角线为圆直径 $2$，边长为 $\sqrt{2}$，面积 $S_{\text{正方形}}=(\sqrt{2}{)}^2=2$。利用面积比计算 $P(A)=\frac{S_{\text{正方形}}}{S_{\text{圆}}}$。
3. 条件概率计算：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{S_{A\cap B}}{S_A}$。
4. 区域 $A\cap B$ 即为正方形内部位于扇形 $OHE$ 中的部分，恰为 $△OHE$。计算 $△OHE$ 面积并与正方形总面积作比。

✅【答案】

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(1) $\frac{2}{\pi }$

✍【详细解析】

Abstract

圆的半径为 $R=1$，圆的总面积为： $S_{\text{圆}}=\pi \times 1^2=\pi$。

(1) 因为正方形 $EFGH$ 为圆的内接正方形，所以其对角线长等于圆的直径 $2$。 正方形的边长为 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 正方形 $EFGH$ 的面积为： $S_A=(\sqrt{2}{)}^2=2$。 由几何概型面积公式，得： $P(A)=\frac{S_A}{S_{\text{圆}}}=\frac{2}{\pi }$。

(2) 事件 $AB$ 表示豆子既落在正方形 $EFGH$ 内，又落在扇形 $OHE$ 内。 由图可知，正方形的四条边将圆心角为 $90^{\circ }$ 的四个扇形分割， 扇形 $OHE$ 与正方形 $EFGH$ 的公共部分即为直角三角形 $△OHE$。 在等腰直角三角形 $△OHE$ 中，$OE=OH=1$，$\angle EOH=90^{\circ }$。 其面积为： $S_{AB}=S_{△OHE}=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。 由条件概率公式，得： $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{S_{AB}}{S_A}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$。

故填： (1) $\frac{2}{\pi }$； (2) $\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：几何概型的概率测度比、条件概率公式 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$。
• 核心方法：求 $P(B|A)$ 时，可直接将样本空间缩减为正方形 $A$，直接用公共面积除以正方形面积。
• 避坑指南：第 (2) 问切勿误将扇形面积（$\frac{\pi }{4}$）作为分子代入计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于随机投针/投点实验（蒙特卡罗算法估算 $\pi$ 的思想）与条件概率的交汇。
• 结论推广：在均匀分布的几何概型中，给定子区域 $A$ 下发生 $B$ 的条件概率，等于两区域交集测度与区域 $A$ 测度的比值，即 $P(B|A)=\frac{\mu (A\cap B)}{\mu (A)}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-18 解-条件概率
• 2008-江苏卷-06 填-几何概型面积
• 2009-山东卷文-11 单-几何概型