2011-湖南卷理-20 解-奇函数与极值

本题导读

本题考查函数的实际应用模型。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 如图，长方体物体 $E$ 在雨中沿面 $P$（面积为 $S$）的垂直方向作匀速移动，速度为 $v$ ($v>0$)，雨速沿 $E$ 移动方向的分速度为 $c$ ($c\in \mathbf{R}$).$E$ 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：① $P$ 或 $P$ 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 $|v-c|\times S$ 成正比，比例系数为 $\frac{1}{10}$；② 其它面的淋雨量之和，其值为 $\frac{1}{2}$.记 $y$ 为 $E$ 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 $d=100$，面积 $S=\frac{3}{2}$ 时.

(1) 写出 $y$ 的表达式；

(2) 设 $0<v⩽10$，$0<c⩽5$，试根据 $c$ 的不同取值范围，确定移动速度 $v$，使总淋雨量 $y$ 最少.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：移动时间为 $t=\frac{d}{v}=\frac{100}{v}$。单位时间内的淋雨量为 $\frac{1}{10}|v-c|S+\frac{1}{2}$。将 $d=100$、$S=\frac{3}{2}$ 代入，总淋雨量 $y=t\times (\text{单位时间淋雨量})$，化简整理。
2. 第 (2) 问：去绝对值讨论 $0<v⩽c$ 与 $c<v⩽10$：

• 当 $0<v⩽c$ 时，$y=\frac{100}{v}\left[\frac{3}{20}(c-v)+\frac{1}{2}\right]=\frac{15c+50}{v}-15$，在 $(0,c]$ 上单调递减，最小值为 $y(c)=\frac{50}{c}$。
• 当 $c<v⩽10$ 时，$y=\frac{100}{v}\left[\frac{3}{20}(v-c)+\frac{1}{2}\right]=\frac{50-15c}{v}+15$。其单调性取决于分子 $50-15c=5(10-3c)$ 的正负，以 $c=\frac{10}{3}$ 为临界点分类讨论：
• 当 $0<c⩽\frac{10}{3}$ 时，分析单调性并求最小值；
• 当 $\frac{10}{3}<c⩽5$ 时，分析单调性并比较各端点值大小。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，物体 $E$ 移动的速度为 $v$，移动距离为 $d=100$， 所以移动所需的时间为 $t=\frac{d}{v}=\frac{100}{v}$。 $E$ 移动时单位时间内的总淋雨量为： $\frac{1}{10}|v-c|S+\frac{1}{2}$。 将 $S=\frac{3}{2}$ 代入，得单位时间内的淋雨量为： $\frac{1}{10}|v-c|\times \frac{3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{20}|v-c|+\frac{1}{2}$。 故移动过程中的总淋雨量为： $y=t\left(\frac{3}{20}|v-c|+\frac{1}{2}\right)=\frac{100}{v}\left(\frac{3}{20}|v-c|+\frac{1}{2}\right)=\frac{15|v-c|+50}{v}$ ($v>0$)。

(2) 由 (1) 知，$y=\frac{15|v-c|+50}{v}$。 因为 $0<v⩽10$，$0<c⩽5$，去绝对值可分段表示为： $y=\{\begin{array}{ll}\frac{15(c-v)+50}{v}=\frac{15c+50}{v}-15,& 0<v⩽c,\\ \frac{15(v-c)+50}{v}=\frac{50-15c}{v}+15,& c<v⩽10.\end{array}$

① 当 $0<v⩽c$ 时： 因为 $15c+50>0$，所以函数 $y_1(v)=\frac{15c+50}{v}-15$ 关于 $v$ 在 $(0,c]$ 上单调递减。 当 $v=c$ 时，$y$ 取得该段的最小值： $y(c)=\frac{50}{c}$。

② 当 $c<v⩽10$ 时，考察函数 $y_2(v)=\frac{50-15c}{v}+15$ 的单调性： 令 $50-15c=0$，解得 $c=\frac{10}{3}$。

• 情形一：当 $0<c<\frac{10}{3}$ 时， $50-15c>0$，函数 $y_2(v)$ 在 $(c,10]$ 上单调递减。 因为函数在 $(0,10]$ 上连续，且在 $(0,c]$ 和 $(c,10]$ 上均单调递减， 所以函数 $y$ 在 $(0,10]$ 上单调递减。 此时，当 $v=10$ 时，$y$ 取得最小值， 最小值为 $y(10)=\frac{50-15c}{10}+15=20-\frac{3}{2}c$。

• 情形二：当 $c=\frac{10}{3}$ 时， $50-15c=0$。 当 $c<v⩽10$ 时，$y_2(v)=15$（常数）。 又当 $v=c=\frac{10}{3}$ 时，$y\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{50}{10/3}=15$。 所以当 $v\in \left[\frac{10}{3},10\right]$ 时，$y$ 均取得最小值，最小值为 15。

• 情形三：当 $\frac{10}{3}<c⩽5$ 时， $50-15c<0$，函数 $y_2(v)$ 在 $(c,10]$ 上单调递增。 所以对任意 $v\in (c,10]$，均有 $y_2(v)>y_2(c)=\frac{50}{c}$。 又由 ① 知在 $(0,c]$ 上 $y$ 单调递减，且 $y(c)=\frac{50}{c}$， 因此整个定义域 $(0,10]$ 内，当 $v=c$ 时取得最小值，最小值为 $\frac{50}{c}$。

综上所述：

• 当 $0<c<\frac{10}{3}$ 时，移动速度 $v=10$ 时总淋雨量最少，最少淋雨量为 $20-\frac{3}{2}c$；
• 当 $c=\frac{10}{3}$ 时，移动速度 $v\in \left[\frac{10}{3},10\right]$ 任意取值时总淋雨量最少，最少淋雨量为 15；
• 当 $\frac{10}{3}<c⩽5$ 时，移动速度 $v=c$ 时总淋雨量最少，最少淋雨量为 $\frac{50}{c}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数模型的建立、反比例型函数的单调性讨论。
• 核心方法：以使绝对值内为零的点（$v=c$）分段，再以反比例项系数的零点（$c=\frac{10}{3}$）作为第二重分类讨论标准。
• 避坑指南：必须注意 $c=\frac{10}{3}$ 时的退化情形（恒为常数），切勿遗漏闭区间端点取等说明。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于著名的物理应用数学问题“雨中奔跑的最佳速度选择”（Running in the Rain Problem）。
• 结论推广：在相对运动模型中，当迎风跑时（$v>c$ 且风向正对），若侧面截面积较大，尽可能增大速度能减少总时间从而减少总雨量；若顺风跑且风速极大，使移动速度与风速匹配（$v=c$）能使正对受雨面达到相对静止。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-20 解-绝对值分段函数
• 2010-广东卷文-20 解-递推函数最值
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性